Funzione con parametro alpha
Salve vorrei sapere come approcciare a questo tipo di funzione. La mia visione su di essa è che si tratti di una serie di Taylor data l'esistenza nella funzione di 'O[x]' ma non ne sono sicuro. Provando a svolgerla non ne sono venuto a capo, soprattutto per la presenza di $alpha$ 
. Potete aiutarmi ?
Aggiungo anche il testo dell'esercizio !
"Stabilire per quali valori di $alpha \in R$ vale : (funzione sottostante)"
$(1/cot(3x)) -(3x^(5alpha)) = O[x]$ per $ x -> 0 $
Grazie in anticipo
. Potete aiutarmi ? Aggiungo anche il testo dell'esercizio !
"Stabilire per quali valori di $alpha \in R$ vale : (funzione sottostante)"
$(1/cot(3x)) -(3x^(5alpha)) = O[x]$ per $ x -> 0 $
Grazie in anticipo
Risposte
\(\displaystyle \frac{1}{\cot(3x)} -3x^{5\alpha} = \tan(3x) -3x^{5\alpha} = 3x + o(x) -3x^{5\alpha} \)
Dividendo tutto per \(\displaystyle x \) ottieni
\(\displaystyle \frac{ 3(x -x^{5\alpha})}{x} + \frac{o(x)}{x} \)
La frazione di destra al limite va a \(\displaystyle 0 \) per definizione, mentre quello a sinistra è definitivamente limitato se e solo se
\(\displaystyle 5\alpha -1 \geq 0 \)
ovvero se
\(\displaystyle \alpha \geq \frac{1}{5} \)
Comunque se vuoi spizzati il tutorial sui simboli di Landau
Dividendo tutto per \(\displaystyle x \) ottieni
\(\displaystyle \frac{ 3(x -x^{5\alpha})}{x} + \frac{o(x)}{x} \)
La frazione di destra al limite va a \(\displaystyle 0 \) per definizione, mentre quello a sinistra è definitivamente limitato se e solo se
\(\displaystyle 5\alpha -1 \geq 0 \)
ovvero se
\(\displaystyle \alpha \geq \frac{1}{5} \)
Comunque se vuoi spizzati il tutorial sui simboli di Landau
"Oznerol.92":
\(\displaystyle \frac{1}{\cot(3x)} -3x^{5\alpha} = \tan(3x) -3x^{5\alpha} = 3x + o(x) -3x^{5\alpha} \)
Dividendo tutto per \(\displaystyle x \) ottieni
\(\displaystyle \frac{ 3(x -x^{5\alpha})}{x} + \frac{o(x)}{x} \)
La frazione di destra al limite va a \(\displaystyle 0 \) per definizione, mentre quello a sinistra è definitivamente limitato se e solo se
\(\displaystyle 5\alpha -1 \geq 0 \)
ovvero se
\(\displaystyle \alpha \geq \frac{1}{5} \)
Comunque se vuoi spizzati il tutorial sui simboli di Landau
Grazie per la spiegazione e per il consiglio !
L'unica parte che non ho capito bene, è quella relativa a $tan(3x)$ che nello svolgimento scompare, in soldoni che fine ha fatto ? viene inglobata da $o(x)$ ? oppure hai usato un'altro metodo ?Per il resto poi tutto ok ! Grazie
Ma no, l'o piccolo è il resto dello sviluppo di Taylor! O comunque, anche se la tangente non fosse svilluppabile in serie in \(\displaystyle 0 \) avresti che quella formula vale perché la tangente è derivabile in 0. Rivediti meglio la teoria: cosa vuol dire fare un'approssimazione di ordine \(\displaystyle n \) di una funzione \(\displaystyle f \in C^n \), la formua del resto di Peano, di Lagrange e cosa vuol dire sviluppabilità in serie di Taylor.
"Oznerol.92":
Ma no, l'o piccolo è il resto dello sviluppo di Taylor! O comunque, anche se la tangente non fosse svilluppabile in serie in \(\displaystyle 0 \) avresti che quella formula vale perché la tangente è derivabile in 0. Rivediti meglio la teoria: cosa vuol dire fare un'approssimazione di ordine \(\displaystyle n \) di una funzione \(\displaystyle f \in C^n \), la formua del resto di Peano, di Lagrange e cosa vuol dire sviluppabilità in serie di Taylor.
Capito ! Grazie ancora per l'aiuto !
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