Funzione con parametri

[yleniatrischele]

data la funzione f(x):ax^2+bx+senx


dire per quali parametri di a,b appartenenti ad R essa verifica ciascuna delle seguenti proprietà:
a. è infinitesima di ordine 2 per x->0
b. è crescente in un intorno di x=0
c. f è convessa in R
d. f ammette un punto di minimo relativo per x = pi\2
e. f ammette minimo assoluto su R



ho provato,sono andata a ripetizioni ..ma non riesco a fare soprattutto il punto due..ci sono stata sopra ore,,,vi prego..a giorni ho l esame

[gugo82]

Tentativi tuoi?
Ne avrai fatti, no?

[yleniatrischele]

per il secondo punto ho provato a calcolare la derivata prima e a fare il limite della funzione in 0+ e 0- (in un intorno di 0) ma non riesco ad arrivare a una condizione di discussione dei parametri così facendo, la f'(x)=2ax+b+cosx e in un intorno di zero a me sembra crescente per valori positivi di a e b in quanto 2ax+b dovrebbe avere l'andamento di una retta crescente mentre il cosx prima di zero cresce poi decresce ma esso non dipende dal parametro,
il terzo punto invece ho calcolato la derivata seconda e l'ho posta maggiore di zero. f''(x)=2a-senx e l'unica condizione è che 2a>senx ossia a>senx/2 e non capisco se è sufficiente come condizione e se posso trovarne altre.
il quarto punto ho calcolato la derivata prima in pi/2 e mi viene f'(pi/2)= 2a*pi/2 + b e affinché sia un minimo lo pongo uguale a zero e mi viene la condizione a=-b/pi anche qui non capisco se posso trovare altre condizioni per definire i miei parametri a e b.
infine il quinto punto non so davvero come affrontarlo, cioè non so come porre la condizione di minimo assoluto partendo dalla derivata prima che ho calcolato. se potete darmi dei suggerimenti ve ne sarei grata. grazie in anticipo e scusate la forma in cui scrivo se non è perfetta.

[gugo82]

Questo è il tipico esercizio che, per essere risolto, ha bisogno di una buona conoscenza della teoria, cioé dei classici teoremi del Calcolo Differenziale, e di una buona dose di ragionamento.
Se ti mancano l'una o l'altro, l'esercizio non lo risolvi.

Quindi, più che ripetizioni (fatte con quale spirito?), ti servirebbe fermarti e metterti a ragionare con calma sulle cose che studi.

"ylenia94":per il secondo punto ho provato a calcolare la derivata prima e a fare il limite della funzione in 0+ e 0- (in un intorno di 0) ma non riesco ad arrivare a una condizione di discussione dei parametri così facendo, la f'(x)=2ax+b+cosx e in un intorno di zero a me sembra crescente per valori positivi di a e b in quanto 2ax+b dovrebbe avere l'andamento di una retta crescente mentre il cosx prima di zero cresce poi decresce ma esso non dipende dal parametro

Ok, quindi hai capito che devi avere:
\[
f^\prime (x) = 2ax+b+\cos x\geq 0
\]
per \(x\) in un conveniente intorno di \(0\).

Qualitativamente, dato che \(\cos x\geq -1\), hai certamente:
\[
f^\prime (x)\geq 2ax+b-1
\]
ovunque, dunque hai \(f^\prime (x)\geq 0\) intorno a \(0\) se \(2ax+b\geq 1\) intorno a \(0\); dato che \(\lim_{x\to 0} 2ax+b = b\), per permanenza del segno ti basta che \(b> 1\) (qualunque sia \(a\)) per avere \(2ax+b\geq 1\) intorno a \(0\) e dunque anche \(f^\prime (x)\geq 0\) nello stesso intorno.

Per un risultato un po' meno qualitativo, potresti ragionare come segue. Per Taylor al terzo ordine hai:
\[
\cos x = 1 - \frac{1}{2}\ x^2 + \text{o}(x^3)
\]
intorno a \(0\), dunque:
\[
f^\prime (x) = (b+1) + \left( 2a - \frac{1}{2}\right) x^2 + \text{o}(x^3)
\]
intorno a \(0\). Conseguentemente, distingui i casi:

[list=1][*:c5ptnjch] se \(b>-1\), hai certamente \(f^\prime (x)\geq 0\) intorno a \(0\) per ogni scelta di \(a\) (perché, essendo \(f^\prime (x) \sim b+1\) per \(x\to 0\), il comportamento di \(f^\prime (x)\) intorno a \(0\) è dettato dal termine costante \(b+1\));

[/*:m:c5ptnjch]
[*:c5ptnjch] d'altra parte, se \(b=-1\), hai:
\[
f^\prime (x) = \left( 2a - \frac{1}{2}\right) x^2 + \text{o}(x^3)
\]
e perciò \(f^\prime (x)\sim \left( 2a - \frac{1}{2}\right) x^2 \) per \(x\to 0\), sicché \(f^\prime (x)\geq 0\) se \(2a-1/2\>0\) cioé se \(a>1/4\);

[/*:m:c5ptnjch]
[*:c5ptnjch] se \(b=-1\) ed \(a=1/4\), usando Taylor al quarto ordine, trovi:
\[
f^\prime (x) = \frac{1}{24}\ x^4 + \text{o}(x^4)
\]
ossia \(f^\prime (x)\sim x^4/24\) per \(x\to 0\), dunque \(f^\prime (x)\geq 0\) intorno a \(0\).[/*:m:c5ptnjch][/list:o:c5ptnjch]

Riassumendo, la tua funzione è crescente intorno a \(0\) per ogni coppia di parametri \((a,b)\) scelta nell'insieme:
\[
C:= \Big(\underbrace{\mathbb{R}\times ]-1,\infty[}_{\color{maroon}{\text{caso 1}}}\Big) \cup \Big( \underbrace{]1/4,\infty[\times \{-1\}}_{\color{maroon}{\text{caso 2}}}\Big) \cup \big\{ \underbrace{(1/4,-1)}_{\color{maroon}{\text{caso 3}}} \big\}\; .
\]

"ylenia94":il terzo punto invece ho calcolato la derivata seconda e l'ho posta maggiore di zero. f''(x)=2a-senx e l'unica condizione è che 2a>senx ossia a>senx/2 e non capisco se è sufficiente come condizione e se posso trovarne altre.

Qui hai ben capito che tutto si gioca sul segno della derivata seconda, che è:
\[
f^{\prime \prime}(x) = 2a -\sin x\; .
\]

Per avere convessità in tutto \(\mathbb{R}\) ti basta che \(f^{\prime \prime} (x)\geq 0\) ovunque; dato che \(\sin x\leq 1\) per ogni \(x\) reale, hai:
\[
f^{\prime \prime} (x)\geq 2a-1
\]
e dunque ti basta che \(2a-1\geq 0\) per avere convessità dappertutto. Quindi...

"ylenia94":il quarto punto ho calcolato la derivata prima in pi/2 e mi viene f'(pi/2)= 2a*pi/2 + b e affinché sia un minimo lo pongo uguale a zero e mi viene la condizione a=-b/pi anche qui non capisco se posso trovare altre condizioni per definire i miei parametri a e b.

Affinché ci sia un estremo relativo in \(\pi/2\) serve innanziutto che \(f^\prime (\pi/2) =0\) (teorema di Fermat); ciò importa che:
\[
a\ \pi + b =0 \quad \Rightarrow \quad b=-\pi\ a\; ;
\]
dunque le uniche funzioni che ammettono in \(\pi/2\) un estremo relativo sono quelle del tipo:
\[
f(x) = a\ (x^2 - \pi\ x) + \sin x\; .
\]
In più, il test della derivata seconda implica che c'è un mimimo relativo in \(\pi/2\) se \(f^{\prime \prime} (\pi/2)>0\); dato che:
\[
f^{\prime \prime} (x) = 2a -\sin x
\]
si ha:
\[
f^{\prime \prime} (\pi/2) = 2a-1>0 \quad \Rightarrow \quad a>1/2\; ;
\]
conseguentemente la tua funzione ha certamente un minimo relativo in \(\pi/2\) se \(a>1/2\) e \(b=-\pi a\).
D'altra parte, la condizione sulla derivata seconda è solo sufficiente al minimo, ma non è necessaria; dunque ci potrebbe essere anche qualche funzione che ha minimo in \(\pi/2\) presentando in tal punto derivata seconda nulla. Una tale funzione è quella che corrisponde ad \(a=1/2\) e \(b=-\pi/2\), ossia:
\[
f(x) = \frac{1}{2}\ (x^2- \pi\ x) + \sin x\; ;
\]
essa ha:
\[
f^\prime (\pi/2) = f^{\prime \prime} (\pi/2) = f^{\prime \prime \prime} (\pi) = 0,\ f^{(4)}(\pi/2) = 1>0
\]
dunque \(f^{(4)}(x)>0\) intorno a \(\pi/2\), perciò \(f^{\prime \prime \prime} (x)\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)] per \(x\geq \pi/2\) [risp. \(\leq \pi/2\)] sufficientemente vicini a \(\pi/2\); da ciò segue \(f^{\prime \prime} (x)\geq 0\) intorno a \(\pi/2\) e quindi \(f^\prime (x)\leq 0\) [risp. \(\geq 0\)] per \(x\leq \pi/2\) [risp. \(\geq \pi/2\)] sufficientemente vicini a \(\pi/2\); conseguentemente anche questa \(f(x)\) ha un minimo in \(\pi/2\).

Riassumendo, le uniche funzioni che hanno minimo locale sono quelle che si ottengono per \(b=-\pi a\) ed \(a\geq 1/2\).

"ylenia94":infine il quinto punto non so davvero come affrontarlo, cioè non so come porre la condizione di minimo assoluto partendo dalla derivata prima che ho calcolato.

Nota che si ha:
\[
\lim_{x\to \pm \infty} f(x) = -\infty
\]
non appena \(a< 0\); dunque, la funzione assegnata non può essere limitata dal basso per \(a< 0\) e perciò una condizione necessaria affinché ci sia un minimo assoluto è che \(a\geq 0\).
Distingui due casi:

[list=1][*:c5ptnjch] se \(a=0\), la tua funzione diviene:
\[
f(x) = bx + \sin x
\]
e si vede che essa non è limitata dal basso se \(b\neq 0\), poiché:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to +\infty} bx+\sin x = - \infty \qquad &\text{, se } b<0\\
\lim_{x\to -\infty} bx+\sin x = - \infty \qquad &\text{, se } b>0\; ;
\end{split}
\]
quindi puoi avere minimo assoluto solo se \(b=0\);

[/*:m:c5ptnjch]
[*:c5ptnjch] se \(a>0\), invece, la tua funzione ha:
\[
\lim_{x\to \pm \infty} ax^2+bx+\sin x = +\infty\; ,
\]
e ciò implica che \(\inf_{x\in \mathbb{R}} f(x)\) non è \(-\infty\) e che, fuori da un determinato compatto, \(f(x)\) è troppo "grande" per prendere minimo; conseguentemente, \(f(x)\) prende sicuramente il valore minimo in quel compatto detto sopra (per Weierstrass) ed è quindi dotata di minimo assoluto per ogni possibile scelta di \(b\).[/*:m:c5ptnjch][/list:o:c5ptnjch]

Riassumendo, \(f(x)\) è dotata di minimo assoluto solo se la coppia di parametri \((a,b)\) appartiene all'insieme:
\[
M:= \{\underbrace{(0,0)}_{\color{maroon}{\text{caso 1}}}\} \cup \Big( \underbrace{]0,\infty[\times \mathbb{R}}_{\color{maroon}{caso 2}}\Big)\; .
\]

[yleniatrischele]

grazie infinite per la risposta dettagliata, te ne sono davvero grata!