Funzione con integrale

[giuppyru-votailprof]

Data la funzione $f(t)=int_1^(x^x)e^(t^2+t)*cos(ln(1/sqrt(t)))*dt$ determinare la derivata.

Non riesco proprio a capire cosa fare, ho provato a risolvere l'integrale per parti ma ottengo integrali ancora + difficili, qualcuno può suggerirmi qualcosa ?

[fireball1]

Devi usare due cose: il teorema fondamentale del calcolo e la regola della catena per la derivazione di funzioni composte.

[giuppyru-votailprof]

non ho capito, non riesco a farlo.

[gugo82]

In altre parole, considera la tua funzione come se fosse [tex]$F(g(x))$[/tex] con [tex]$F(y):=\int_1^y f(t)\ \text{d} t$[/tex], [tex]$f(t):=e^{t^2+t}\ \cos \ln \tfrac{1}{\sqrt{t}}$[/tex] e [tex]$g(x):=x^x$[/tex].

[giuppyru-votailprof]

scusa ma $y$ come la scelgo ? ho capito che devo farmi la derivata $f'(g(x))*g'(x)$ ma non capisco come.

[fireball1]

y è solo una variabile muta, che serve a dire cosa fa la funzione F a un generico elemento (che indichiamo con y) del suo dominio.
Per calcolare la derivata di $F@g$ in $x$, devi calcolare la derivata di F in $g(x)$ e moltiplicare poi il risultato per la derivata di $g$ in x.
La derivata di $g$ in x presumo tu la sappia calcolare; la derivata di F in y (poi sostituirai y con g(x)) dovresti sapere quant'è, da Analisi 1.
La derivata di un integrale cos'è?

[giuppyru-votailprof]

"fireball":La derivata di $g$ in x presumo tu la sappia calcolare; la derivata di F in y (poi sostituirai y con g(x)) dovresti sapere quant'è, da Analisi 1.
La derivata di un integrale cos'è?

No non la so calcolare , se $g(x)=x^x$ posso presumere che $g'(x)=x^x*lnx$ però non ne sono proprio sicura.

La derivata di un integrale dovrebbe restituire la funzione integranda se non sbaglio.

[fireball1]

"Josephine":[quote="fireball"]La derivata di $g$ in x presumo tu la sappia calcolare; la derivata di F in y (poi sostituirai y con g(x)) dovresti sapere quant'è, da Analisi 1.
La derivata di un integrale cos'è?

No non la so calcolare , se $g(x)=x^x$ posso presumere che $g'(x)=x^x*lnx$ però non ne sono proprio sicura.

La derivata di un integrale dovrebbe restituire la funzione integranda se non sbaglio.[/quote]

La seconda frase è giusta, quanto alla prima, è $g'(x)=x^x(lnx+1)$.

[giuppyru-votailprof]

"fireball":è $g'(x)=x^x(lnx+1)$.

perchè $lnx+1$ ?

quindi $F'(y)=f(y)$ dove $y=g(x)$ e poi devo moltiplicar per $g'(x)$.

Quindi ricapitolando tutto e applicandolo al mio esercizio dovrei avere :

$F'(x)=e^(x^(2x)+x^x)*cos(ln(1/sqrt(x^x)))*x^x*(lnx+1)$ corretto ?

[fireball1]

Oh yes

[fireball1]

"Josephine": perchè $lnx+1$ ?

[tex]x^x=e^{x\log x},\quad\forall x\in (0,+\infty)[/tex]
Allora [tex]$\frac{d}{dx} x^x = e^{x\log x}\frac{d}{dx}(x\log x)[/tex]
e l'ultima è la derivata di un prodotto...

[giuppyru-votailprof]

scusa Fireball mi togli una curiosità ma cosa fai nella vita ? o devo chiedertelo in pvt ? nn so se è contro il regolamento

[fireball1]

Laurea Magistrale in Ingegneria Matematica, primo anno...

[giuppyru-votailprof]

"fireball":[quote="Josephine"] perchè $lnx+1$ ?

[tex]x^x=e^{x\log x},\quad\forall x\in (0,+\infty)[/tex]
Allora [tex]$\frac{d}{dx} x^x = e^{x\log x}\frac{d}{dx}(x\log x)[/tex]
e l'ultima è la derivata di un prodotto...[/quote]

Grazie infinite sei stato chiarissimo

[giuppyru-votailprof]

Ho un altro problema in cui devo calcolare sempre la derivata di una funzione integrale però ora la funzione integrale è la seguente :

$int_(cosx)^x[arctan(sqrt(t))*e^(-t^2*sen(t))]*dt$

ora il mio dubbio è se prima $g(x)$ era $x^x$ e quindi io moltiplicavo la derivata dell'integrale per $g'(x)$ ora come faccio ?

chi è $g(x)$ ?

[K.Lomax]

Non sai risolvere questo esercizio perchè prima hai risolto quel problema nel particolare (estremo inferiore costante rispetto a [tex]x[/tex]) e non in generale. Dal momento che immagino sia più utile sapere come procedere in maniera generale, come ti è stato precedentemente consigliato, utilizza il teorema fondamentale del calcolo integrale e la proprietà di derivazione delle funzioni composte per calcolare:

[tex]\displaystyle\frac{\text{d}}{\text{d}x}F(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(t)\text{d}t[/tex]

con [tex]f(\cdot)=F'(\cdot)[/tex]. In questa maniera saprai sempre cosa fare.

[giuppyru-votailprof]

"K.Lomax":Non sai risolvere questo esercizio perchè prima hai risolto quel problema nel particolare (estremo inferiore costante rispetto a [tex]x[/tex]) e non in generale. Dal momento che immagino sia più utile sapere come procedere in maniera generale, come ti è stato precedentemente consigliato, utilizza il teorema fondamentale del calcolo integrale e la proprietà di derivazione delle funzioni composte per calcolare:

[tex]\displaystyle\frac{\text{d}}{\text{d}x}F(x)=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(t)\text{d}t[/tex]

con [tex]f(\cdot)=F'(\cdot)[/tex]. In questa maniera saprai sempre cosa fare.

Quindi calcolata la derivata $F'(x)=f(x)$ devo moltiplicare per $g'_1(x)$ e per $g'_2(x)$ ? o no ?

[K.Lomax]

[tex]\displaystyle\frac{\text{d}}{\text{d}x}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(t)\text{d}t=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[F(g_2(x))-F(g_1(x))\right]=F'(g_2(x))g'_2(x)-F'(g_1(x))g'_1(x)=[/tex]

[tex]=f(g_2(x))g'_2(x)-f(g_1(x))g'_1(x)[/tex]

dove il primo passaggio è appunto per il th fondamentale del calcolo integrale e il secondo è una semplice proprietà della derivata (nota che con [tex]g_1(x)=1[/tex] il secondo termine è 0 e quindi prima non lo avevi )