Funzione con arctan punti critici

[liam-lover]

Devo trovare i punti critici di:

$ f(x,y)=y^2-3yarctan(x^2)+2(arctan(x^2))^2 $

E poi determinare gli estremi assoluti di f nell'insieme $ G={(x,y)in R^2|0<=x<=1, arctan(x^2)<=y<=2arctan(x^2)} $.


Ho trovato un punto critico in (0,0), anche se l'hessiano risulta nullo.

Volevo studiare il comportamento della funzione lungo $ y=+-x $, ma ottengo una derivata difficile da studiare.
Studiando la positività di f invece ottengo un punto di sella (?) quando il calcolatore dice che non ce ne sono.

Avete qualche suggerimento su come altro potrei identificare il punto?

[gugo82]

Leggi bene il testo dell’esercizio (e quanto ti ho scritto qui).
L’hessiano non serve… Ed a che pro vai a guardarti le restrizioni alle bisettrici?

[liam-lover]

"gugo82":L’hessiano non serve…

Ma se devo trovare anche i punti critici della funzione (prima di considerare G), come faccio a non usare l'hessiano?

"gugo82":Ed a che pro vai a guardarti le restrizioni alle bisettrici?

Di solito quando l'hessiano è nullo il mio professore studia la funzione lungo $ y=+-x $ per ricondurla ad una funzione ad una variabile e studiarne la derivata. In base al comportamento attorno a (0, 0), definisce l'origine come punto di massimo, minimo o sella.

[gugo82]

“Trovare i punti critici” e “classificare i punti critici” sono cose diverse, no?
Insomma, hai un’idea precisa di cosa ti venga chiesto nell’esercizio (i.e., hai capito il testo)? E di quali tecniche servano allo scopo?

Per il resto, a vote le bisettrici servono, altre non servono assolutamente a nulla… Le curve da scegliere (se serve) nel caso di hessiano nullo dipendono dalla funzione assegnata.

[liam-lover]

Okay, allora: trovo il punto critico (0,0), nel quale so che la funzione fa 0.

Considero prima la retta $ y=0$ con $ 0<=x<=1 $ e ottengo la funzione $ f(x,0)=2(arctan(x^2))^2 $, la cui derivata vale $ f'(x,0)=(8xarctan(x^2))/(1+x^2) $. Questa è positiva per $ x>0 $, quindi so che la funzione è crescente a partire da (0,0) fino ad $ f(1,0)=pi^2/8 $.

Se considero $ x=0 $ ottengo $ f(0, y)=y^2 $, con derivata $ f'(0, y)=2y $ crescente per y>0. Cosa che non mi interessa perché l'insieme G contiene solo $ arctan(x^2) <= y <= 2arctan(x^2) $, cioè (per x=0) y=0.

Studio quindi $ y = arctan(x^2) $ e ottengo:
$ f(x, arctan(x^2))= (arctan(x^2))^2 - 3 (arctan(x^2))^2 + 2(arctan(x^2))^2 = 0 $, cioè la funzione assume valore 0 lungo $ y = arctan(x^2) $.

Risulta lo stesso per $ y = 2arctan(x^2) $.

Resta da studiare $ x= 1 $ con $ f(1,y)= y^2-(3piy)/4+pi^2/8$ e $ f'(1,y)=2y-(3pi)/4 $, positiva per $ y>(3pi)/8 $ (che è accettabile in quanto $ arctan(x^2) <= y <= 2arctan(x^2) $), dunque dal punto $ P(1, (3pi)/8) $ in poi la funzione cresce. Il valore nel punto è $ 1- (5pi^2)/32 $, che è negativo. Quindi so che dopo $ (1, pi/4) $ (in cui f=0) la funzione scende, arriva a P e risale fino a $ (1, pi/2) $, assumendo di nuovo il valore 0.

Così ottengo un punto di massimo assoluto in $(1,0) $ e uno di minimo in $ P(1, (3pi)/8)$.


Però ho un paio di domande: non dovrei studiare anche tutti i punti con $0
Come mai ottengo 0 lungo y=2arctan(x^2) e y=arctan(x^2), ma quando risolvo il sistema iniziale l'unico punto in le derivate prime si annullano è (0,0)? Cioè, perché (0,0) è l'unico punto critico che otteniamo quando studiamo la funzione su tutto il suo dominio, se la funzione vale 0 anche lungo y=2arctan(x^2) e y=arctan(x^2)?

Come faccio da qui a capire che tipo di punto critico è (0,0)?

[gugo82]

"maxira":Okay, allora: trovo il punto critico (0,0), nel quale so che la funzione fa 0.

Non ho fatto i conti, mi fido che sia l’unico punto critico libero… Se postassi un po’ di calcoli controllerei.

"maxira":Considero prima la retta $ y=0$ con $ 0<=x<=1 $ e ottengo la funzione $ f(x,0)=2(arctan(x^2))^2 $, la cui derivata vale $ f'(x,0)=(8xarctan(x^2))/(1+x^2) $. Questa è positiva per $ x>0 $, quindi so che la funzione è crescente a partire da (0,0) fino ad $ f(1,0)=pi^2/8 $.

Perché?

"maxira":Se considero $ x=0 $ ottengo $ f(0, y)=y^2 $, con derivata $ f'(0, y)=2y $ crescente per y>0. Cosa che non mi interessa perché l'insieme G contiene solo $ arctan(x^2) <= y <= 2arctan(x^2) $, cioè (per x=0) y=0.

Hai disegnato l’insieme $G$?

"maxira":Studio quindi $ y = arctan(x^2) $ e ottengo:
$ f(x, arctan(x^2))= (arctan(x^2))^2 - 3 (arctan(x^2))^2 + 2(arctan(x^2))^2 = 0 $, cioè la funzione assume valore 0 lungo $ y = arctan(x^2) $.

Risulta lo stesso per $ y = 2arctan(x^2) $.

Ok.

"maxira":Resta da studiare $ x= 1 $ con $ f(1,y)= y^2-(3piy)/4+pi^2/8$ e $ f'(1,y)=2y-(3pi)/4 $, positiva per $ y>(3pi)/8 $ (che è accettabile in quanto $ arctan(x^2) <= y <= 2arctan(x^2) $), dunque dal punto $ P(1, (3pi)/8) $ in poi la funzione cresce. Il valore nel punto è $ 1- (5pi^2)/32 $, che è negativo. Quindi so che dopo $ (1, pi/4) $ (in cui f=0) la funzione scende, arriva a P e risale fino a $ (1, pi/2) $, assumendo di nuovo il valore 0.

Ok, ma perché fai tutti questi calcoli inutili?

"maxira":Così ottengo un punto di massimo assoluto in $(1,0) $ e uno di minimo in $ P(1, (3pi)/8)$.

Ricontrolla i calcoli e, se le conclusioni rimangono le stesse, ok.

"maxira":Però ho un paio di domande: non dovrei studiare anche tutti i punti con $0
Hai letto e capito lo schema che ti ho suggerito nell’altro post?

Secondo te quali sono i punti che stai individuando con le disuguaglianze $0

"maxira":Come mai ottengo 0 lungo y=2arctan(x^2) e y=arctan(x^2), ma quando risolvo il sistema iniziale l'unico punto in le derivate prime si annullano è (0,0)? Cioè, perché (0,0) è l'unico punto critico che otteniamo quando studiamo la funzione su tutto il suo dominio, se la funzione vale 0 anche lungo y=2arctan(x^2) e y=arctan(x^2)?

Perché il teorema di Fermat si applica solo agli estremi liberi.

"maxira":Come faccio da qui a capire che tipo di punto critico è (0,0)?

Per risolvere l’esercizio ciò non ti interessa (l’esercizio chiede di individuare i punti critici, non di classificarli).
Se vuoi fare, come ulteriore esercizio, la classificazione del punto critico $(0,0)$ basta studiare il segno della funzione $f(x,y) - f(0,0)$ intorno a $(0,0)$, il che non è proibitivo.

[liam-lover]

"gugo82":
Non ho fatto i conti, mi fido che sia l’unico punto critico libero… Se postassi un po’ di calcoli controllerei.

$ f(x,y)=y^2-3yarctan(x^2)+2(arctan(x^2))^2 $

$ f_x = (-6xy+8xarctan(x^2))/(1+x^2) $

$ f_y = 2y-3arctan(x^2) $

$ { ( -3xy+4xarctan(x^2)=0 ),( y=3/2arctan(x^2) ):} $

$ { ( -9/2arctan(x^2)+4xarctan(x^2)=0 ),( y=3/2arctan(x^2) ):} $

$ { ( x=0 ),( y=0 ):} $

"gugo82":Perché?

Ora che lo rileggo, non lo so.

Non considerando questo, resterebbero P punto di minimo e $ (0,0), (0, arctan(x^2)), (0, 2arctan(x^2)) $ punti di massimo.

"gugo82":Secondo te quali sono i punti che stai individuando con le disuguaglianze 0

Quelli compresi tra i due grafici di $ arctan(x^2) $ e $ 2arctan(x^2) $, senza considerare x=1 e x=0, per cui basta risolvere $ grad f(x)=0 $.

"gugo82":basta studiare il segno della funzione $ f(x,y)−f(0,0) $ intorno a $ (0,0) $, il che non è proibitivo.

Quindi è un punto di sella?