Funzione composta non derivabile
Sia $f(x) = x^2$, per quale funzione $g(t)$ si ha che la funzione composta $f o g$ non è derivabile in $t_0=0$?
a) $g(t) = |t|^(1/2)$
b) $g(t) = t^3$
c) $g(t) = |t|$
d) $g(t) = |t-1|$
Purtroppo non saprei come partire per verificare o confutare le possibilità
a) $g(t) = |t|^(1/2)$
b) $g(t) = t^3$
c) $g(t) = |t|$
d) $g(t) = |t-1|$
Purtroppo non saprei come partire per verificare o confutare le possibilità
Risposte
Una funzione è derivabile in un punto se e solo se esiste, finito, il limite del rapporto incrementale della funzione in quel punto. Componi f e g e controlla per quale funzione questo limite (finito!) non esiste
In effetti funzione composta di funzioni derivabili è sempre derivabile ...
Da cui il teorema va in difetto quando una delle funzioni componenti è non derivabile ...
In questo caso ... come suggerito, .. va esaminato direttemante il limite del rapporto incrementale ...
...
Da cui il teorema va in difetto quando una delle funzioni componenti è non derivabile ...
In questo caso ... come suggerito, .. va esaminato direttemante il limite del rapporto incrementale ...
...
Quindi devo studiare i limiti?
$
lim_(t->0) (|t^(1/2)|)^2
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lim_(t->0) (t^3)^2
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lim_(t->0) (|t|)^2
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lim_(t->0) (|t-1|)^2
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lim_(t->0) (|t^(1/2)|)^2
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lim_(t->0) (t^3)^2
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lim_(t->0) (|t|)^2
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lim_(t->0) (|t-1|)^2
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Esattamente.
"Lory9618":
Quindi devo studiare i limiti?...
Studiare quelli che hai scritto non ti serve a nulla per verificare la derivabilità in $t=0$.
Se scrivi le quattro composizioni vedi abbastanza a occhio qual è l'unica non derivabile. Se non lo vedi a occhio devi studiare il limite del rapporto incrementale, non della funzione.
Si, ha ragione Palliit (scusate ma la stanchezza ha colpito 
)
)
"Palliit":
[quote="Lory9618"]Quindi devo studiare i limiti?...
Studiare quelli che hai scritto non ti serve a nulla per verificare la derivabilità in $t=0$.
Se scrivi le quattro composizioni vedi abbastanza a occhio qual è l'unica non derivabile. Se non lo vedi a occhio devi studiare il limite del rapporto incrementale, non della funzione.[/quote]
Come fa a notarlo "ad occhio"?
$(t^3)^2=t^6$ è derivabile in tutto $RR$ e credo non ci siano dubbi, ok? 
$|t|^2$ quando $t>0$ è un ramo di parabola, quando $t<0$ è lo stesso ramo di parabola "riflesso" dall'asse $y$ quindi il "raccordo" dei due rami nel punto $0$ è "liscio", non angoloso ... in pratica entrambe le derivate dei due rami tendono a zero avvicinandosi a quel punto ...
$|t-1|^2$ vale quanto detto sopra (basta pensare a $t-1=w$) ... è solo "spostata" ...
Mentre la prima, se la elevi al quadrato, ti ritrovi la funzione modulo ovvero $(sqrt(|t|))^2=|t|$ che è un classico esempio di funzione continua ma non derivabile in tutto il dominio (ovvero il punto zero è un punto angoloso).
Cordialmente, Alex
$|t|^2$ quando $t>0$ è un ramo di parabola, quando $t<0$ è lo stesso ramo di parabola "riflesso" dall'asse $y$ quindi il "raccordo" dei due rami nel punto $0$ è "liscio", non angoloso ... in pratica entrambe le derivate dei due rami tendono a zero avvicinandosi a quel punto ...
$|t-1|^2$ vale quanto detto sopra (basta pensare a $t-1=w$) ... è solo "spostata" ...
Mentre la prima, se la elevi al quadrato, ti ritrovi la funzione modulo ovvero $(sqrt(|t|))^2=|t|$ che è un classico esempio di funzione continua ma non derivabile in tutto il dominio (ovvero il punto zero è un punto angoloso).
Cordialmente, Alex
Chiaro e semplice, perfetto!
Grazie e buona giornata
Grazie e buona giornata
Tra l'altro, $|t|^2$ coincide con $t^2$ per $forall t in RR$, ed analogamente nel caso di $|t-1|^2$.
In questo senso dicevo che sono palesemente derivabili.
In questo senso dicevo che sono palesemente derivabili.
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