Funzione composta n-volte di f
Salve qualcuno mi potrebbe aiutare con questo tipo di esercizio che non so proprio da dove iniziare 
- Sia $ f(x)= 2x + 1 $. Si scriva la funzione composta $ f^n(x)= f@ cdots @ f(x) $ n-volte della funzione $ f $ .
Grazie in anticipo per il vostro aiuto.
- Sia $ f(x)= 2x + 1 $. Si scriva la funzione composta $ f^n(x)= f@ cdots @ f(x) $ n-volte della funzione $ f $ .
Grazie in anticipo per il vostro aiuto.
Risposte
Ciao, e benvenuto/a in questo Forum.
Per le prossime volte ricorda come sia richiesto un tuo tentativo d svolgimento, perché è il modo migliore per chi vuol rispondere di capire cosa ti blocca;
in merito a questo ci fai capire chi, secondo te, sono ad esempio $f^2,f^3,f^4$?
Mi pare un buon modo di cominciare ad approcciare il problema, e magari poi ti dà spunto per il caso generale
:
saluti dal web.
Per le prossime volte ricorda come sia richiesto un tuo tentativo d svolgimento, perché è il modo migliore per chi vuol rispondere di capire cosa ti blocca;
in merito a questo ci fai capire chi, secondo te, sono ad esempio $f^2,f^3,f^4$?
Mi pare un buon modo di cominciare ad approcciare il problema, e magari poi ti dà spunto per il caso generale
:saluti dal web.
Allora per comporre la funzione composta $ f@ f $ ,che sarebbe $ f^2 $, bisogna sostituire alla $ x $ la funzione stessa cioè $ f^2=f(f(x))= 2(2x+1)+1 $ e così via per le altre potenze...giusto?
$ f^n(x)=2^nx+n+1 $ potrebbe andare bene questa?
Visto che, a mettertici di buzzo buono, ci sei(quasi..) riuscito da solo ?
Ora prova a verificare, tramite il principio d'induzione, la relazione (quella corretta..)
$f^n(x)=2^n x+2^n-1$ $AA x in RR,AA n in NN$:
saluti dal web.
?Ora prova a verificare, tramite il principio d'induzione, la relazione (quella corretta..)
$f^n(x)=2^n x+2^n-1$ $AA x in RR,AA n in NN$:
saluti dal web.
\( f(x)= \sin(x) \)E' si ci ero quasi riuscito
Invece nel caso di \( f(x)=\log(x) \) (il logaritmo è in base 2 ma non riesco ad inserirlo)
\( f^2(x)=log(log(x)) \) e così via fino a \( f^n(x) \). I vari logaritmi sono all'interno dell'argomento come per esempio se la funzione fosse stata \( f(x)= \sin(x) \) quindi non posso farci granchè. Sul mio libro di testo cè scritto che la notazione sarebbe \( f^n(x)=\log^n(x) \) che però viene utilizzata per indicare \( f(x)=(\log(x))^n \) .Insomma quale sarebbe la formula generale?
Invece nel caso di \( f(x)=\log(x) \) (il logaritmo è in base 2 ma non riesco ad inserirlo)
\( f^2(x)=log(log(x)) \) e così via fino a \( f^n(x) \). I vari logaritmi sono all'interno dell'argomento come per esempio se la funzione fosse stata \( f(x)= \sin(x) \) quindi non posso farci granchè. Sul mio libro di testo cè scritto che la notazione sarebbe \( f^n(x)=\log^n(x) \) che però viene utilizzata per indicare \( f(x)=(\log(x))^n \) .Insomma quale sarebbe la formula generale?
Non sempre esiste una formula generale. Nei due casi da te segnalati, non è certamente quella la notazione. Ne che io sappia ne esiste una.
"vict85":
Non sempre esiste una formula generale. Nei due casi da te segnalati, non è certamente quella la notazione. Ne che io sappia ne esiste una.
Stavo chiedendo perchè quella con il logaritmo era una traccia dell'esame di analisi... cmq nel pagani salsa cè scritto che la notazione sarebbe \( f^n(x)=\log^n(x) \) usata ormai scorrettamente per idicare \( f(x)=(\log(x))^n \).
In che pagina e/o capito è scritto? Comunque dire ‘scorrettamente’ mi pare improprio per tre ragioni:
1) la prima è che anche le notazioni matematiche, come le lingue, evolvono nel tempo in base a ciò che pare più appropriato fare
2) la confusione tra potenza del prodotto e potenza della composizione permane in ogni ambito della matematica e gli algebristi si trovano spesso a dover esplicitare quale si stia usando in quel momento.
3) il quadrato di un logaritmo è molto più comune del log(log(x))
Inoltre il fatto che ogni sistema di calcolo simbolico interpreti quella simbologia come la potenza n-esima e non come la composizione n-esima significa che la prima è la notazione corrente mentre la seconda è al più una notazione arcaica.
1) la prima è che anche le notazioni matematiche, come le lingue, evolvono nel tempo in base a ciò che pare più appropriato fare
2) la confusione tra potenza del prodotto e potenza della composizione permane in ogni ambito della matematica e gli algebristi si trovano spesso a dover esplicitare quale si stia usando in quel momento.
3) il quadrato di un logaritmo è molto più comune del log(log(x))
Inoltre il fatto che ogni sistema di calcolo simbolico interpreti quella simbologia come la potenza n-esima e non come la composizione n-esima significa che la prima è la notazione corrente mentre la seconda è al più una notazione arcaica.
Concordo pienamente con le tue affermazioni visto che tutti i libri, i prof usano la notazione comune. Solo adesso approfondendo l'esercizio di esame sul pagani salsa ho trovato questa notazione che il libro giudica, cito testualmente "scorretto" (nella mia versione a fondo pagina 33).
Beh, il punto è che si usano entrambe le notazioni. Soprattutto perché andando avanti nello studio ti capiterà spesso di omettere il \((x)\) nella scritta \(f(x)\).
"vict85":
Beh, il punto è che si usano entrambe le notazioni. Soprattutto perché andando avanti nello studio ti capiterà spesso di omettere il \((x)\) nella scritta \(f(x)\).
Sisi io continuerò a usare la classica...cmq il mio problema è trovare il dominio di una funzione composta n-volte. Sul libro non cè molto e si parla sopratutto del dominio di due funzione composte ( \( g\circ f \) ) che è piuttosto facile mentre viene tralasciata l'altra.
Prendiamo il logaritmo.
Se io ho \(\displaystyle \ln\ln x \) allora, partendo dalla \(\displaystyle x \) devi avere che \(\displaystyle x>0 \) e che \(\displaystyle \ln x>0 \). Cioé \(\displaystyle x>1 \).
Per \(\displaystyle \ln^3 x \) (uso ora questa notazione per comodità) devi avere che \(\displaystyle x>0 \), \(\displaystyle \ln x>0 \) e che \(\displaystyle \ln\ln x > 0\). In altre parole che \(\displaystyle \ln x > 1 \). Cioé che \(\displaystyle x > e \).
Penso che venga qualcosa del tipo \(\displaystyle x > \exp^{n-2}(1) \) dove \(\displaystyle \exp(x) = e^x \).
Se io ho \(\displaystyle \ln\ln x \) allora, partendo dalla \(\displaystyle x \) devi avere che \(\displaystyle x>0 \) e che \(\displaystyle \ln x>0 \). Cioé \(\displaystyle x>1 \).
Per \(\displaystyle \ln^3 x \) (uso ora questa notazione per comodità) devi avere che \(\displaystyle x>0 \), \(\displaystyle \ln x>0 \) e che \(\displaystyle \ln\ln x > 0\). In altre parole che \(\displaystyle \ln x > 1 \). Cioé che \(\displaystyle x > e \).
Penso che venga qualcosa del tipo \(\displaystyle x > \exp^{n-2}(1) \) dove \(\displaystyle \exp(x) = e^x \).
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