Funzione Composta.
Determinare i rispettivi campi di esistenza e quindi calcolare, se possibile, la legge di definizione delle funzioni FoG e GoF,
Precisandone ancora il rispettivo campo di esistenza. Qualora non fosse possibile definire FoG rispetto (GoF) Determinare il più grande insieme X incluso in R Tale che sia lecito considerare LA Funzione fo G"ristretta"...e Go F"ristretta".
$ f(x) = 1-6x, g(x)= x^2 -3x+1 $
Determino il C.E. di f(x) = x< 1/6
e di g(x) x>-3
il codominio di f(x) dovrebbe essere [0 +oo [
mentre quello di g(x) è [ +oo
sono un po confuso...
Come dovrei procedere ??
Precisandone ancora il rispettivo campo di esistenza. Qualora non fosse possibile definire FoG rispetto (GoF) Determinare il più grande insieme X incluso in R Tale che sia lecito considerare LA Funzione fo G"ristretta"...e Go F"ristretta".
$ f(x) = 1-6x, g(x)= x^2 -3x+1 $
Determino il C.E. di f(x) = x< 1/6
e di g(x) x>-3
il codominio di f(x) dovrebbe essere [0 +oo [
mentre quello di g(x) è [ +oo
sono un po confuso...
Come dovrei procedere ??
Risposte
se le formule sono giuste il CE è tutto $RR$ per entrambe le funzioni, quindi puoi calcolare la funzione composta senza problemi
"walter89":
se le formule sono giuste il CE è tutto $RR$ per entrambe le funzioni, quindi puoi calcolare la funzione composta senza problemi
Algebricamente...
$ FoG(x) = 1-6x+x^2-3x+1=0 $ ???
Grazie
no, algebricamente tu devi considerare la funzione $f(x)$ calcolata nei punti immagine di $g(x)$.
In pratica $fog(x)=f(g(x))=f(x^2-3x+1)= 1-6(x^2-3x+1)$
In pratica $fog(x)=f(g(x))=f(x^2-3x+1)= 1-6(x^2-3x+1)$
"Boris":
no, algebricamente tu devi considerare la funzione $f(x)$ calcolata nei punti immagine di $g(x)$.
In pratica $fog(x)=f(g(x))=f(x^2-3x+1)= 1-6(x^2-3x+1)$
Capito !!!
anche se teoricamente parlando non dovrebbe fare una piega ciò che hai scritto....
Nei calcoli però mi viene una radice sballata.....
radice sballata? puoi postare i tuoi calcoli, così capisco il tuo problema.
"Boris":
radice sballata? puoi postare i tuoi calcoli, così capisco il tuo problema.
$x^2-3x+1=1-6x^2+18x-6 $
Sicuramente sbagliato....
????? 
penso tu abbia le idee un pò confuse, forse è meglio spendere qualche parola in più:
prendiamo due funzioni, $f(x): X \to Y$ e $g(x): Y \to Z$
chiamiamo $x$ gli elementi di $X$ e così via..
la $f$ è una legge che associa ad ogni elemento di $X$ uno ed un solo elemento di $Y$: può quindi accadere che ci siano degli elementi di $Y$ ai quali non viene associato nessun $x$, ma non può accadere il contrario (così anche per la $g$). Nel seguito supporrò che $f$ e $g$ siano suriettive (ossia a tutti gli elementi dell'insieme d'arrivo viene associato almeno un elemento dell'insieme di partenza).
Visto che noi stiamo considerando funzioni che operano con elementi di $RR$ ci interessa sapere qual'è il più ampio sottoinsieme di $RR$ nel quale ha senso considerare la nostra funzione, ossia considerare l'insieme di tutti quei numeri di $RR$ che si "comportano bene" per la nostra funzione, senza farci trovare in situazioni come zeri al denominatore, numeri negativi sotto le radici ad indice pari ecc.. per l'appunto l'insieme in cui è definita la $f$ (campo di esistenza).
La nostra funzione composta $gof$ invece sarà la composizione di due leggi, che ad ogni elemento di $X$ associano un elemento di $Y$, al quale a sua volta viene associato un elemento di $Z$, quindi si può dire che $gof$ ad ogni elemento di $X$ associa un elemento di $Z$.
Fin qui il discorso fila, ma può sorgere un problema, nel caso in cui l'insieme d'arrivo della $f$ non coincida con l'insieme di partenza della $g$: stiamo quindi considerando il caso di due funzioni $f(x): X rArr Y$ e $g(x): W rArr Z$.
Non dobbiamo far altro quindi che assicurarci che i valori che "la $f$ passa alla $g$" facciano parte dell'insieme di definizione della $g$. In caso contrario dovremmo considerare una restrizione della $f$ di modo che $YsubeW$
Provo con un esempio concreto a chiarire le idee:
Prendiamo le funzioni $f(x)=x+2$ e $g(y)=sqrt(y)$.
La prima ha sempre senso, perchè qualunque sia il mio $x in RR$ non ho alcuna difficoltà nel continuare a svolgere i miei calcoli.
La seconda invece non ha sempre senso, perchè capita che per tutti gli $y<0$ non ha senso svolgere la radice quadrata, in quanto è un'operazione definita solo per i numeri positivi (in $RR$)
Vediamo che succede quando voglio studiarmi $gof=g(f(x))=g(x+2)=sqrt(x+2)$: la $f$ "passa" alla $g$ valori "non buoni", ossia tutti quegli $x: f(x)<0$, che fanno perdere senso alla funzione composta. Perchè $gof$ abbia sempre senso dobbiamo considerare una restrizione della funzione $f$ di modo che $f(x)$ sia sempre maggiore o uguale a $0$.
Quindi ne concludo che $x>=-2$ è il campo di esistenza di $gof$.
P.S. quel che tu hai scritto nell'ultimo post è $g(x)=fog(x)$, ma non capisco perchè quelle due cose debbano essere uguali!
2P.S: so di essere stato un pò prolisso, spero ti possa essere stato d'aiuto però!
prendiamo due funzioni, $f(x): X \to Y$ e $g(x): Y \to Z$
chiamiamo $x$ gli elementi di $X$ e così via..
la $f$ è una legge che associa ad ogni elemento di $X$ uno ed un solo elemento di $Y$: può quindi accadere che ci siano degli elementi di $Y$ ai quali non viene associato nessun $x$, ma non può accadere il contrario (così anche per la $g$). Nel seguito supporrò che $f$ e $g$ siano suriettive (ossia a tutti gli elementi dell'insieme d'arrivo viene associato almeno un elemento dell'insieme di partenza).
Visto che noi stiamo considerando funzioni che operano con elementi di $RR$ ci interessa sapere qual'è il più ampio sottoinsieme di $RR$ nel quale ha senso considerare la nostra funzione, ossia considerare l'insieme di tutti quei numeri di $RR$ che si "comportano bene" per la nostra funzione, senza farci trovare in situazioni come zeri al denominatore, numeri negativi sotto le radici ad indice pari ecc.. per l'appunto l'insieme in cui è definita la $f$ (campo di esistenza).
La nostra funzione composta $gof$ invece sarà la composizione di due leggi, che ad ogni elemento di $X$ associano un elemento di $Y$, al quale a sua volta viene associato un elemento di $Z$, quindi si può dire che $gof$ ad ogni elemento di $X$ associa un elemento di $Z$.
Fin qui il discorso fila, ma può sorgere un problema, nel caso in cui l'insieme d'arrivo della $f$ non coincida con l'insieme di partenza della $g$: stiamo quindi considerando il caso di due funzioni $f(x): X rArr Y$ e $g(x): W rArr Z$.
Non dobbiamo far altro quindi che assicurarci che i valori che "la $f$ passa alla $g$" facciano parte dell'insieme di definizione della $g$. In caso contrario dovremmo considerare una restrizione della $f$ di modo che $YsubeW$
Provo con un esempio concreto a chiarire le idee:
Prendiamo le funzioni $f(x)=x+2$ e $g(y)=sqrt(y)$.
La prima ha sempre senso, perchè qualunque sia il mio $x in RR$ non ho alcuna difficoltà nel continuare a svolgere i miei calcoli.
La seconda invece non ha sempre senso, perchè capita che per tutti gli $y<0$ non ha senso svolgere la radice quadrata, in quanto è un'operazione definita solo per i numeri positivi (in $RR$)
Vediamo che succede quando voglio studiarmi $gof=g(f(x))=g(x+2)=sqrt(x+2)$: la $f$ "passa" alla $g$ valori "non buoni", ossia tutti quegli $x: f(x)<0$, che fanno perdere senso alla funzione composta. Perchè $gof$ abbia sempre senso dobbiamo considerare una restrizione della funzione $f$ di modo che $f(x)$ sia sempre maggiore o uguale a $0$.
Quindi ne concludo che $x>=-2$ è il campo di esistenza di $gof$.
P.S. quel che tu hai scritto nell'ultimo post è $g(x)=fog(x)$, ma non capisco perchè quelle due cose debbano essere uguali!
2P.S: so di essere stato un pò prolisso, spero ti possa essere stato d'aiuto però!
Due postille.
1) Potete scrivere anche $fg$ omettendo il simbolo di composizione;
2) il simbolo di composizione si ottoiene col camndo \$\circ\$=$\circ$.
1) Potete scrivere anche $fg$ omettendo il simbolo di composizione;
2) il simbolo di composizione si ottoiene col camndo \$\circ\$=$\circ$.
"Boris":
penso tu abbia le idee un pò confuse, forse è meglio spendere qualche parola in più:
P.S. quel che tu hai scritto nell'ultimo post è $g(x)=fog(x)$, ma non capisco perchè quelle due cose debbano essere uguali!
2P.S: so di essere stato un pò prolisso, spero ti possa essere stato d'aiuto però!
Si si ti ringrazio... d'aiuto lo sei stato sicuramente!
per quanto riguarda il mio post precedente... le hai messe te "quelle due cose" con l'uguale; un post prima...
cioè... teoricamente l'ho capita la composizione di funzioni
avevo chiesto solamente un chiarimento sul passaggio algebrico! di $fg$.... dato che il Campo di esistenza di $f(x) = x<1/6 $ , mentre per quello di g(x) ho trovato problemi a calcolarlo dato che $ C.E. g(x)= 3 +- sqrt5,$ diviso 2.
i passaggi sono la mia pecca...magari passaggi "stupidi", mentre la teoria la capisco senza problemi.
la radice sballata"con la virgola" è la risultante di $fg = -6x^2+18x-5 $ <---
Grazie...
"mat100":
dato che il Campo di esistenza di $f(x) = x<1/6 $ , mentre per quello di g(x) ho trovato problemi a calcolarlo dato che $ C.E. g(x)= 3 +- sqrt5,$ diviso 2.
ma il campo di esistenza di $f$ non è $x<1/6$!!
$f$ e $g$ sono definite dappertutto!! quindi il loro campo di esistenza è tutto $RR$!!
Per quanto riguarda l'uguale che avrei messo io:
"Boris":
no, algebricamente tu devi considerare la funzione $f(x)$ calcolata nei punti immagine di $g(x)$.
In pratica $fog(x)=f(g(x))=f(x2-3x+1)=1-6(x2-3x+1)$
Io ho scritto un altra cosa, e cioè che la funzione composta $f\circg$ si calcola nel modo che ho scritto sopra, non ho scritto che $g(x)=f\circg(x)$!
P.S. credo che tu abbia qualche problemino di teoria in fondo.. credimi!
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