Funzione Complessa
rieccomi..
in questo esercizio devo studiare la derivabilita' di questa funzione:
$f(z)=f(x,y):=e^(y+ix)$
e determinare l'integrale
$int_C (f(z)dz$
dove C e' il segmento che va da $i$ a $i+1$
per la prima parte mi viene in mente di utilizzare le formule di eulero e quindi..
$f(x,y)=e^y(cos x+isenx)$
mi potete aiutare?
in questo esercizio devo studiare la derivabilita' di questa funzione:
$f(z)=f(x,y):=e^(y+ix)$
e determinare l'integrale
$int_C (f(z)dz$
dove C e' il segmento che va da $i$ a $i+1$
per la prima parte mi viene in mente di utilizzare le formule di eulero e quindi..
$f(x,y)=e^y(cos x+isenx)$
mi potete aiutare?
Risposte
Hai quasi finito; per terminare ti basta guardare se sono verificate le condizioni di Cauchy-Riemann.
mmm... vediamo un po'...
allora, la condizione di Cauchy Riemann ci dice che in soldoni
sia $f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$
$gradv(z_0)=Rgradu(z_0)$
dove $R:R^2->R^2,(x,y)|->R(x,y):=(-y,x)$
nel mio caso quindi:
$u=e^ycosx$
$v=e^ysenx$
quindi deve essere soddisfatta la condizione
$v_x=-u_y$
$v_y=u_x$
quindi per la mia $f(z)$
$v_x=e^ycosx,-u_y=-e^ycosx$
$v_y=e^ysenx,u_x=-e^ysenx$
la condizione non e' verificata, quindi non e' derivabile.. giusto??
sia $f(z)=f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$
$gradv(z_0)=Rgradu(z_0)$
dove $R:R^2->R^2,(x,y)|->R(x,y):=(-y,x)$
nel mio caso quindi:
$u=e^ycosx$
$v=e^ysenx$
quindi deve essere soddisfatta la condizione
$v_x=-u_y$
$v_y=u_x$
quindi per la mia $f(z)$
$v_x=e^ycosx,-u_y=-e^ycosx$
$v_y=e^ysenx,u_x=-e^ysenx$
la condizione non e' verificata, quindi non e' derivabile.. giusto??
Giusto.
Ora, per calcolare l'integrale curvilineo ti basta applicare la definizione.
Ora, per calcolare l'integrale curvilineo ti basta applicare la definizione.
mmm... bene...
proviamo...
proviamo...
allora..
integrale:
$int_Cf(z)=int_C(u,-v)*ds+i int_C(u,v)*ds$
quindi:
$int_Cf(z)=int_((0,i))^((1,i))(e^ycosx-e^ysenx) dx +i int_((0,i))^((1,i))(e^ycosx+e^ysenx) dx$
ma come si fa questo aggeggio?
ho scritto dx perche' y e' costante su C, quindi posso scrivere $e^y=e^1$ e' lecito?
integrale:
$int_Cf(z)=int_C(u,-v)*ds+i int_C(u,v)*ds$
quindi:
$int_Cf(z)=int_((0,i))^((1,i))(e^ycosx-e^ysenx) dx +i int_((0,i))^((1,i))(e^ycosx+e^ysenx) dx$
ma come si fa questo aggeggio?
ho scritto dx perche' y e' costante su C, quindi posso scrivere $e^y=e^1$ e' lecito?
non mi torna qualcosa, mi aiutate??
Applica la definizione d'integrale curvilineo:
$\int_C f(z)" d"z=\int_a^b f(z(t)) *z'(t)" d"t$
con $a,b\in RR$ estremi dell'intervallo base della parametrizzazione $z(t)$ di $C$.
Nel tuo caso $z(t)=i+t$, con $t\in [0,1]$, quindi...
$\int_C f(z)" d"z=\int_a^b f(z(t)) *z'(t)" d"t$
con $a,b\in RR$ estremi dell'intervallo base della parametrizzazione $z(t)$ di $C$.
Nel tuo caso $z(t)=i+t$, con $t\in [0,1]$, quindi...
no, necessito di aiuto... come sostituisco le componenti x e y?? scusate l'ignoranza..
Da $z(t)=t+i$ segue $x(t)=t, y(t)=1$, quindi $z'(t)=1$; a questo punto $f(z(t))=f(t+1)=e^(1+it)$ ed $f(z(t))*z'(t)=e^(1+it)*1=e^(1+it)=e*e^(it)$ da cui:
$\int_C f(z)" d"z=e*\int_0^1 e^(it)" d"t=e/i*[e^(it)]_0^1=e/i(e^i-1)=ei*(1-e^(i)) \quad$.
N.B.: Se $t$ è reale ed $alpha\inCC\setminus\{ 0\}$, allora una primitiva di $e^(alpha t)$ è $1/alpha e^(alpha t)$ (insomma si integra come nel caso reale!); in particolare una primitiva di $e^(it)$ è $1/ie^(it)=-i*e^(it)$.
$\int_C f(z)" d"z=e*\int_0^1 e^(it)" d"t=e/i*[e^(it)]_0^1=e/i(e^i-1)=ei*(1-e^(i)) \quad$.
N.B.: Se $t$ è reale ed $alpha\inCC\setminus\{ 0\}$, allora una primitiva di $e^(alpha t)$ è $1/alpha e^(alpha t)$ (insomma si integra come nel caso reale!); in particolare una primitiva di $e^(it)$ è $1/ie^(it)=-i*e^(it)$.
grazie mille!!!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo