Funzione Complessa 2 (revenge)
studiare derivabilita' di:
$f(z)=f(x,y)=x^4-y^3+ix^2y$
calcolare poi
$int_Cf(x,y)$
con C l'arco di parabola $y=x^2$ tra $(0,0$ e $(1,1)$
allora, per l'integrale, ho pensato di parametrizzare y e farla diventare $x(t)=t$ e $y(t)=t^2$
solo che qui ho una serie di problemi.. in particolare e' piuttosto probabile che io non sia in grado di scrivere il tutto nella forma
$int_Cf(z)=int_a^bf(z(t))z'(t)dt$
potete aiutarmi?
grazie
$f(z)=f(x,y)=x^4-y^3+ix^2y$
calcolare poi
$int_Cf(x,y)$
con C l'arco di parabola $y=x^2$ tra $(0,0$ e $(1,1)$
allora, per l'integrale, ho pensato di parametrizzare y e farla diventare $x(t)=t$ e $y(t)=t^2$
solo che qui ho una serie di problemi.. in particolare e' piuttosto probabile che io non sia in grado di scrivere il tutto nella forma
$int_Cf(z)=int_a^bf(z(t))z'(t)dt$
potete aiutarmi?
grazie
Risposte
Ma la $f$ è olomorfa ($<=>$ verifica le equazioni di Cauchy-Riemann)? In tutti i casi, una cosa standard è considerare le forme diff. lineari $omega_1=u"d"x-v"d"y, omega_2=v"d"x+u"d"y$. L'integrale della $f$ è allora la somma $int_comega_1+iint_Comega_2$.
"dissonance":
una cosa standard è considerare le forme diff. lineari $omega_1=u"d"x-v"d"y, omega_2=v"d"x+u"d"y$. L'integrale della $f$ è allora la somma $int_comega_1+iint_Comega_2$.
Infatti, con le notazioni di dissonance, trovi $f(z)" d"z=omega_1(x,y;"d"x,"d"y)+i*omega_2(x,y;"d"x,"d"y)$ ossia (passando alle parametrizzazioni) $f(z(t))*z'(t)" d"t=omega_1(x(t),y(t);x'(t)"d"t,y'(t)"d"t)+i*omega_2(x(t),y(t);x'(t)"d"t,y'(t)"d"t)$.
ok, io non sono capace di trovare la z(t).. questo in generale.....
$z(t)$? la parametrizzazione della curva? Ma se l'hai scritta nel primo post. $z(t)=(x(t), y(t))=(t, t^2)$. No? Che c'è che non va?
ok.. quindi.. $omega_1=x^4-y^3-x^2y;omega_2=x^4-y^3+x^2y$
quindi il mio integrale parametrizzando diventerebbe:
$int_Cf(z)=int_0^1(t^4-t^6-t^4)(1+2t)dt+i int_0^1(t^4-t^6+t^4)(1+2t)dt$
dove $z'(t)=1+2t$
e' giusto quello che ho fatto??
quindi il mio integrale parametrizzando diventerebbe:
$int_Cf(z)=int_0^1(t^4-t^6-t^4)(1+2t)dt+i int_0^1(t^4-t^6+t^4)(1+2t)dt$
dove $z'(t)=1+2t$
e' giusto quello che ho fatto??
A occhio penso di no. Ti devi decidere: o tratti i numeri complessi come cose tipo $a+ib$, oppure come coppie di numeri reali $(a,b)$.
Se stai considerando le forme differenziali $omega_1, omega_2$, vuol dire che stai calcolando l'integrale complesso come se fosse un integrale curvilineo in $RR^2$. Allora la tua curva $z(t)$ la devi pensare come una cosa tipo $(x(t), y(t))$, la cui derivata è un vettore $(x'(t), y'(t))$.
Che cos'è quindi quel $z'(t)=1+2t$? Ti dovevi aspettare un vettore, e invece ti ritrovi uno scalare reale.
Se stai considerando le forme differenziali $omega_1, omega_2$, vuol dire che stai calcolando l'integrale complesso come se fosse un integrale curvilineo in $RR^2$. Allora la tua curva $z(t)$ la devi pensare come una cosa tipo $(x(t), y(t))$, la cui derivata è un vettore $(x'(t), y'(t))$.
Che cos'è quindi quel $z'(t)=1+2t$? Ti dovevi aspettare un vettore, e invece ti ritrovi uno scalare reale.
benissimo...
quindi $z(t)=^?t+it^2$
per poi scrivere $z'(t)=1+2it$ ??
quindi $z(t)=^?t+it^2$
per poi scrivere $z'(t)=1+2it$ ??
Ok. E se pensi ai numeri complessi come se fossero vettori di $RR^2$, la derivata è $(1, 2t)$.
quindi adesso e' corretto questo?
$int_Cf(z)=int_0^1(t^4-t^6-t^4)(1+2it)dt+i int_0^1(t^4-t^6+t^4)(1+2it)dt$
$z'(t)=1+2it$
oppure tutti gli y che sostituisco con la t devo sostituirli con "it"??
$int_Cf(z)=int_0^1(t^4-t^6-t^4)(1+2it)dt+i int_0^1(t^4-t^6+t^4)(1+2it)dt$
$z'(t)=1+2it$
oppure tutti gli y che sostituisco con la t devo sostituirli con "it"??
Ma come fa ad essere corretto! Ma hai idea di cosa stai facendo? O stai andando a casaccio?
Io e Gugo ti abbiamo detto: per calcolare quell'integrale $int_Cf(z)"d"z$, spezzalo in parte reale e parte immaginaria.
Quindi $int_Cf(z)"d"z=int_Comega_1+iint_Comega_2$.
Si intende che i due integrali $int_Comega_1, int_Comega_2$ sono reali!!!
Si tratta di integrali di forme differenziali in $RR^2$. Li hai studiati in precedenza, per forza. Ti sembrano integrali reali $int_0^1(t^4-t^6-t^4)(1+2it)"d"t$ e quell'altro che hai scritto?
E meno male che te l'avevo già detto. Per seguire questa strada devi interpretare i numeri complessi come fossero vettori di $RR^2$. La curva è allora $(t, t^2)$, la derivata della curva è $(1, 2t)$, per $t$ tra 0 e 1. Scordati i numeri complessi, pensa solo ai vettori.
Io e Gugo ti abbiamo detto: per calcolare quell'integrale $int_Cf(z)"d"z$, spezzalo in parte reale e parte immaginaria.
Quindi $int_Cf(z)"d"z=int_Comega_1+iint_Comega_2$.
Si intende che i due integrali $int_Comega_1, int_Comega_2$ sono reali!!!
Si tratta di integrali di forme differenziali in $RR^2$. Li hai studiati in precedenza, per forza. Ti sembrano integrali reali $int_0^1(t^4-t^6-t^4)(1+2it)"d"t$ e quell'altro che hai scritto?
E meno male che te l'avevo già detto. Per seguire questa strada devi interpretare i numeri complessi come fossero vettori di $RR^2$. La curva è allora $(t, t^2)$, la derivata della curva è $(1, 2t)$, per $t$ tra 0 e 1. Scordati i numeri complessi, pensa solo ai vettori.
"Gugo82":
Infatti, con le notazioni di dissonance, trovi $f(z)" d"z=omega_1(x,y;"d"x,"d"y)+i*omega_2(x,y;"d"x,"d"y)$ ossia (passando alle parametrizzazioni) $f(z(t))*z'(t)" d"t=omega_1(x(t),y(t);x'(t)"d"t,y'(t)"d"t)+i*omega_2(x(t),y(t);x'(t)"d"t,y'(t)"d"t)$.
allora.. torno indietro perche' non ci sto capendo piu' niente (mi pare sia chiaro ormai)
$u=x^4-y^3$
$v=x^2y$
$omega_1=(x^4-y^3)dx-(x^2y)dy$
$omega_2=(x^2y)dx+(x^4-y^3)dy$
$f(z)dz=(x^4-y^3)dx-(x^2y)dy+i*[(x^2y)dx+(x^4-y^3)dy]$
adesso come parametrizzo il tutto? o meglio, come cacchio si arriva alla fine? operativamente..
non ti arrabbiare pero'
allora, vediamo se ne vengo fuori.. sia $gamma$ la parametrizzazione $(t,t^2)$
$int_a^bf(gamma(t))dt=int_a^b(u(gamma(t)),-v(gamma(t)))*gamma'(t)dt+i*int_a^b(v(gamma(t)),u(gamma(t)))*gamma'(t)dt$
nel mio caso quindi
se
$x=t$
$y=t^2$
$u(gamma(t))=t^4-t^6$
$v(gamma(t))=t^2t^2$
$int_a^b(t^4-t^6,-t^2t^2)*(1,2t)dt+i*int_a^b(t^2t^2,t^4-t^6)*(1,2t)dt$
ci siamo??
$int_a^bf(gamma(t))dt=int_a^b(u(gamma(t)),-v(gamma(t)))*gamma'(t)dt+i*int_a^b(v(gamma(t)),u(gamma(t)))*gamma'(t)dt$
nel mio caso quindi
se
$x=t$
$y=t^2$
$u(gamma(t))=t^4-t^6$
$v(gamma(t))=t^2t^2$
$int_a^b(t^4-t^6,-t^2t^2)*(1,2t)dt+i*int_a^b(t^2t^2,t^4-t^6)*(1,2t)dt$
ci siamo??
ma no, non mi arrabbio.
Allora, quest'ultima scrittura che hai adoperato è molto comoda dal punto di vista pratico, da quello formale però è traballante (come puoi vedere sul lungo topic "Chi è $"d"x$?" nella sezione Generale). Usala tranquillamente, ma di nascosto!
Io francamente faccio così, e penso di non essere l'unico. Un'osservazione: con questa scrittura puoi usare la regola mnemonica $f(z)"d"z=(u+iv)("d"x+i"d"y)=(u"d"x-v"d"y)+i(v"d"x+u"d"y)$.
Va bene, allora adesso devi calcolare i due integrali curvilinei reali. E' tutta questione di definizioni.
Def.: Se $omega=a(x,y)"d"x+b(x,y)"d"y$ è una forma diff. lineare in $RR^2$ e $gamma=(gamma_x, gamma_y)$ è una curva, allora definiremo $int_gammaomega=int_a^b[a(gamma_x(t), gamma_y(t))dot(gamma_x(t))+b(gamma_x(t), gamma_y(t))dot(gamma_y(t))]"d"t$.
A parole, fai variare $(x,y)$ su $gamma_x(t), gamma_y(t)$, e valuta $"d"x, "d"y$ nel vettore $dotgamma(t)$, ricordando che $"d"x(dotgamma_x(t), dotgamma_y(t))=dotgamma_x(t)$ e analogamente $"d"y$.
Nel nostro caso, le forme differenziali le abbiamo già trovate, e ci manca solo $gamma$. Ma è semplice: $gamma(t)=t+it^2$ va bene, ma a noi serve come vettore in $RR^2$, quindi $gamma(t)=(gamma_x(t), gamma_y(t))=(t, t^2)$. Nota che adesso $i$ è sparito, come è giusto che sia se parliamo di integrali in $RR^2$.
P.S: Abbiamo scritto contemporaneamente. Adesso mi leggo il tuo ultimo post.
si, dai, mi sembra avere senso....
mi autoconvinco..
mi autoconvinco..
Ha senso! E' esatto.
grande prova!!!!!!!!
beh, allora ho fatto bene a farmi un giretto oggi pomeriggio.. non ci stavo capendo piu' niente..
grazie dell'aiuto immenso.
si, quella "cosa" che ho scritto con i dx e dy messi li cosi anche a me da fastidio solo a vederla..
era per capirci..
grazie ancora.
tanto domani sono qui con un altro problema a occhio..
beh, allora ho fatto bene a farmi un giretto oggi pomeriggio.. non ci stavo capendo piu' niente..
grazie dell'aiuto immenso.
si, quella "cosa" che ho scritto con i dx e dy messi li cosi anche a me da fastidio solo a vederla..
era per capirci..
grazie ancora.
tanto domani sono qui con un altro problema a occhio..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo