Funzione complessa
Trovare un limite superiore per \(\displaystyle f(z)=\left|\frac{-1}{z^4-5z+1}\right| \) se \(\displaystyle |z|=2 \).
Ritengo che devo trovare il massimo di \(\displaystyle f(z) \) sulla circonferenza centrata nell'origine di raggio \(\displaystyle 2 \). Però non so come fare, ammesso che la strada sia effettivamente questa.
Ritengo che devo trovare il massimo di \(\displaystyle f(z) \) sulla circonferenza centrata nell'origine di raggio \(\displaystyle 2 \). Però non so come fare, ammesso che la strada sia effettivamente questa.
Risposte
Se scrivi $z=x+iy$ questo diventa un normalissimo problema di ottimizzazione vincolata, e puoi usare i metodi soliti: parametrizzare il vincolo, usare i moltiplicatori di Lagrange ...
P.S.: Secondo me conviene parametrizzare il vincolo. Così si evitano un po' di conti
P.S.: Secondo me conviene parametrizzare il vincolo. Così si evitano un po' di conti
La funzione può essere scritta come
$$f(z)=\frac{1}{|z^4-5z+1|}$$
pertanto essa assume valore massimo quando il denominatore ha valore minimo. Ti conviene allora cercare il minimo di
$$g(z)=|z^4-5z+1|,\qquad |z|=2$$
Se scrivi $z$ in forma trigonometrica $z=\rho(\cos\theta+\i\sin\theta)$ questo equivale a cercare il minimo di
$$g(\theta)=|16(\cos(4\theta)+i\sin(4\theta))-10(\cos\theta+i\sin\theta)+1|$$
essendo $\rho=|z|=2$. La funzione precedente si scrive come
$$g(\theta)=\sqrt{(16\cos(4\theta)-10\cos\theta+1)^2+(16\sin(4\theta)-10\sin\theta)^2}$$
e quindi si tratta di determinare il minimo di $g$ su $\theta\in[0,2\pi]$ (massimi e minimi di funzione di una variabile).
$$f(z)=\frac{1}{|z^4-5z+1|}$$
pertanto essa assume valore massimo quando il denominatore ha valore minimo. Ti conviene allora cercare il minimo di
$$g(z)=|z^4-5z+1|,\qquad |z|=2$$
Se scrivi $z$ in forma trigonometrica $z=\rho(\cos\theta+\i\sin\theta)$ questo equivale a cercare il minimo di
$$g(\theta)=|16(\cos(4\theta)+i\sin(4\theta))-10(\cos\theta+i\sin\theta)+1|$$
essendo $\rho=|z|=2$. La funzione precedente si scrive come
$$g(\theta)=\sqrt{(16\cos(4\theta)-10\cos\theta+1)^2+(16\sin(4\theta)-10\sin\theta)^2}$$
e quindi si tratta di determinare il minimo di $g$ su $\theta\in[0,2\pi]$ (massimi e minimi di funzione di una variabile).
Grazie mille ad entrambi!!