Funzione col simbolo di sommatoria?
Scusate, di solito svolgo e chiedo consigli, ma qui nn so dove metter le mani:
sia f $C^infty$ su (-1/4,1/4) e sia, per ogni $n >=0$, $D ^(n) f(0) = (3^n)/(n+1)$.
completare la seguente uguaglianza col simbolo di sommatoria:
$f(x) = o(x^(n+2)) + ...$
...bo, sono sicuro che c'entra taylor, ma nn so come arrivarci.
sia f $C^infty$ su (-1/4,1/4) e sia, per ogni $n >=0$, $D ^(n) f(0) = (3^n)/(n+1)$.
completare la seguente uguaglianza col simbolo di sommatoria:
$f(x) = o(x^(n+2)) + ...$
...bo, sono sicuro che c'entra taylor, ma nn so come arrivarci.
Risposte
Temo ci sia qualcosa che non va nel testo: è difficile che una funzione abbia tutte le derivate costanti e non nulle...
"Rigel":
Temo ci sia qualcosa che non va nel testo: è difficile che una funzione abbia tutte le derivate costanti e non nulle...
il testo è proprio questo..
penso che c'entri $e^x$, è l'unica funzione che per quanto la derivi in zero vale sempre 1
up
Ma non è che richiede $D^n f(0)={3^n}/{n+1}$?
Esatto.. scusate l'ho scritto mentre mi smontavano la persiana della finestra..
up
[xdom="Rigel"]E' già il secondo up che fai prima che siano trascorse 24 ore (il che è vietato dal regolamento).[/xdom]
scusami rigel, me lo leggo subito.. è che ci sto facendo il pallino..
Ma perché non scrivi la formula di MacLaurin di ordine \(n+2\) con resto di Peano? (Fatto quello, l'esercizio è finito.)
C'ho dato diverse testate, spero d'aver risolto:
$f(x) = o(x^(n+2)) + \sum_{k=-2}^n (3^(k+2) x^(k+2))/((k+3)!)$
Rigel è corretto?
$f(x) = o(x^(n+2)) + \sum_{k=-2}^n (3^(k+2) x^(k+2))/((k+3)!)$
Rigel è corretto?
"Rigel":
Ma perché non scrivi la formula di MacLaurin di ordine \(n+2\) con resto di Peano? (Fatto quello, l'esercizio è finito.)
Sono d'accordo. Però mi chiedo a cosa serva "scomodare" l'intervallo $(-1/4, 1/4)$
non sarebbe stato più opportuno definire $f$ in un generico $I=[a,b]$ tale che $0\in I^\circ$?
Ehh plepp, c'ho la prof che gode a complicare le cose; sai se uno ci capisce poco si arrovella su quel dato, quando poi ti interessa solo che sia derivabile in 0..
Tu che dici, ho fatto bene?
Tu che dici, ho fatto bene?
Sì, secondo me sì. Però perchè "imbruttire" quella sommatoria in quel modo? 
Forse è meglio
\[f(x)=\text{o}(x^{n+2})+\sum_{k=0}^{n+2}\dfrac{3^{k} x^k}{(k+1)!k!}\]
che è lo stesso, ma meno "contorto"
a parte questa stronzata, a me pare ok 
EDIT: ho notato che hai dimenticato il $k!$ (che tu dovresti scrivere come $(k+2)!$).
Forse è meglio \[f(x)=\text{o}(x^{n+2})+\sum_{k=0}^{n+2}\dfrac{3^{k} x^k}{(k+1)!k!}\]
che è lo stesso, ma meno "contorto"
a parte questa stronzata, a me pare ok EDIT: ho notato che hai dimenticato il $k!$ (che tu dovresti scrivere come $(k+2)!$).
grz
"Plepp":
Sì, secondo me sì. Però perchè "imbruttire" quella sommatoria in quel modo?
\[f(x)=\text{o}(x^{n+2})+\sum_{k=0}^{n+2}\dfrac{3^{k} x^k}{(k+1)!k!}\]
che è lo stesso, ma meno "contorto"
EDIT: ho notato che hai dimenticato il $k!$ (che tu dovresti scrivere come $(k+2)!$).
Eppure ero certo di averlo già inglobato:
per n>=0, i valori di D^n f(0) sono: 1, 3/2, 3, 27/4, ...
dalla mia sommatoria, se fai i conti con i vari k ti vengono proprio i valori qui sopra..
Già, hai ragione. Ricordavo male la traccia 
Riscrivo la soluzione:
\[f(x)=o(x^{n+2})+\sum^{n+2}_{k=0}\dfrac{3^k x^k}{(k+1)k!}=o(x^{n+2})+\sum^{n+2}_{k=0}\dfrac{3^k x^k}{(k+1)!}\]
Riscrivo la soluzione:\[f(x)=o(x^{n+2})+\sum^{n+2}_{k=0}\dfrac{3^k x^k}{(k+1)k!}=o(x^{n+2})+\sum^{n+2}_{k=0}\dfrac{3^k x^k}{(k+1)!}\]
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