Funzione che è una sol eq differenziale
Premesso che ancora il mio libro non ha trattato le equazioni differeziali (e ancora non le so fare)
mi chiede di:
Mostrare che la funzione
$f(x) = sum_(n=0)^(oo) ((-1)^n x^(2n))/ ((2n)!)$
è una soluzione dell'equazione differenziale:
$f^('') (x) + f(x) = 0$
L'argomento trattato sono le serie di potenze ma mi chiede l'esercizio senza mostrarmi un esempio.
mi chiede di:
Mostrare che la funzione
$f(x) = sum_(n=0)^(oo) ((-1)^n x^(2n))/ ((2n)!)$
è una soluzione dell'equazione differenziale:
$f^('') (x) + f(x) = 0$
L'argomento trattato sono le serie di potenze ma mi chiede l'esercizio senza mostrarmi un esempio.
Risposte
"Giova411":
Premesso che ancora il mio libro non ha trattato le equazioni differeziali (e ancora non le so fare)
mi chiede di:
Mostrare che la funzione
$f(x) = sum_(n=0)^(oo) ((-1)^n x^(2n))/ ((2n)!)$
è una soluzione dell'equazione differenziale:
$f^('') (x) + f(x) = 0$
L'argomento trattato sono le serie di potenze ma mi chiede l'esercizio senza mostrarmi un esempio.
$f(x) = sum_(n=0)^(oo) ((-1)^n x^(2n))/ ((2n)!)$ è lo sviluppo in serie di taylor della funzione $cosx$ per cui
$f(x) = sum_(n=0)^(oo) ((-1)^n x^(2n))/ ((2n)!)=cosx$
Ora $f'(x)=-sinx,f''(x)=-cosx$ per cui $f''(x)+f(x)=-cosx+cosx=0$ q.e.d
Si ha $sum_(n=0)^(oo) ((-1)^n x^(2n))/((2n)!) = cosx
per ogni $x in RR$, per cui basta verificare
che $cosx$ soddisfa l'equazione $f''(x)+f(x)=0$,
e si vede immediatamente che la soddisfa.
per ogni $x in RR$, per cui basta verificare
che $cosx$ soddisfa l'equazione $f''(x)+f(x)=0$,
e si vede immediatamente che la soddisfa.
Grazie ragazzi!
Ma mi sapete dire perché il mio libro mi chiede ora quest'esercizio (sono alle serie di potenze) quando ancora Taylor non l'ha fatto?
Che scopo ha? Forse si deve provare a risolverlo che le serie di potenze, o, lo escludete a priori?
Ancora grazie
Ma mi sapete dire perché il mio libro mi chiede ora quest'esercizio (sono alle serie di potenze) quando ancora Taylor non l'ha fatto?
Che scopo ha? Forse si deve provare a risolverlo che le serie di potenze, o, lo escludete a priori?
Ancora grazie
"Giova411":
Grazie ragazzi!
Ma mi sapete dire perché il mio libro mi chiede ora quest'esercizio (sono alle serie di potenze) quando ancora Taylor non l'ha fatto?
Che scopo ha? Forse si deve provare a risolverlo che le serie di potenze, o, lo escludete a priori?
Ancora grazie
allora non avendo fatto taylor ,puoi derivare due volte la funzione che hai e verificare il tutto.
e la derivata di $(2n)!$ che cos'é $2!$?
la derivata è rispetto a x
"Giova411":
e la derivata di $(2n)!$ che cos'é $2!$?
la derivata è rispetto ad $x$ cioè
$f'(x)=sum_(n=0)^(oo) 2n*((-1)^n x^(2n-1))/((2n)!),f''(x)=sum_(n=0)^(oo) (2n*(2n-1))((-1)^n x^(2n-2))/((2n)!)$
Ora $(2n(2n-1))/((2n)!)=1/((2n-2)!$ per cui
$f''(x)=sum_(n=0)^(oo) ((-1)^n x^(2n-2))/((2n-2)!)$ da cui...
Ma prima come avete fatto a dire che corrispondeva al $cos x$. Con Taylor ok, ma bisogna saperle a memoria queste corrispondenze?
"luca.barletta":
la derivata è rispetto a x
luca stavolta mi hai anticipato del femto secondo
"Giova411":
Ma prima come avete fatto a dire che corrispondeva al $cos x$. Con Taylor ok, ma bisogna saperle a memoria queste corrispondenze?
almeno quelle più importanti si dovrebbero ricordare
@ nicola
l'indice dell'ultima sommatoria che hai scritto non può partire da 0
l'indice dell'ultima sommatoria che hai scritto non può partire da 0
"nicola de rosa":
[quote="Giova411"]e la derivata di $(2n)!$ che cos'é $2!$?
la derivata è rispetto ad $x$ cioè
$f'(x)=sum_(n=0)^(oo) 2n*((-1)^n x^(2n-1))/((2n)!),f''(x)=sum_(n=0)^(oo) (2n*(2n-1))((-1)^n x^(2n-2))/((2n)!)$
Ora $(2n(2n-1))/((2n)!)=1/((2n-2)!$ per cui
$f''(x)=sum_(n=0)^(oo) ((-1)^n x^(2n-2))/((2n-2)!)$ da cui...[/quote]
chiarissimo, capito!
Ultimissima cosa (giuro!):
n però cosa rappresenta? Una costante no perché sarebbe 0 la derivata. Che é?
"luca.barletta":
@ nicola
l'indice dell'ultima sommatoria che hai scritto non può partire da 0
certo, scusa luca ho scritto una cretinata, parte da $n=1$ cioè
$f''(x)=sum_(n=1)^(oo) ((-1)^n x^(2n-2))/((2n-2)!)=-sum_(m=0)^(oo) ((-1)^m x^(2m))/((2m)!)$ con la sostituzione $m=n-1$
Quindi questa eq differenziale mi dice che è giusto se:
la deriva seconda + funzione = 0
capito!
Professori carissimi,
siete velocissimi e bravissimi + molte altre parole come "issimi" alla fine.
GraZIE
la deriva seconda + funzione = 0
capito!
Professori carissimi,
siete velocissimi e bravissimi + molte altre parole come "issimi" alla fine.
GraZIE
p.s. non voglio rubare il titolo di prof, io prof non sono 
$(2n(2n-1))/((2n)!)=1/((2n-2)!$ Posso star qui pure 1 anno ma questo passaggio non lo capisco, pure ieri c'erano sti cavoli di fattoriali che mi mandano ancora + in TILT di quanto non sia già di mio.
basta che espandi fino a (2n-2) il fattoriale del denominatore
"luca.barletta":
p.s. non voglio rubare il titolo di prof, io prof non sono
Beh in codesto FORUM siete in 2 o 3 e, secondo me, ne sapete quanto un prof. (LECCATA DI ... )
cioé:
$2n*2(n-1)*...*2$ ??? E poi semplifico...
Non mi sento a mio agio con sti fattoriali, mentre col resto della matematica...
$2n*2(n-1)*...*2$ ??? E poi semplifico...
Non mi sento a mio agio con sti fattoriali, mentre col resto della matematica...
$(2n(2n-1))/((2n)!)=(2n(2n-1))/((2n)(2n-1)(2n-2)!)=1/((2n-2)!$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo