Funzione che cresce molto in fretta

[carlo232]

Un semplice esercizio su una curiosa funzione:

Studiare derivabilità, continuità...ecc della funzione $f(x)$ definita per $x>=0 in RR$ tale che

$f(x)=e^(e^(e^(...e^({x}))))$

dove il numero $e$ di Eulero appare $[x]+1$ volte, $[x]$ e ${x}$ sono rispettivamente la parte intera e frazionaria di $x$.

[Piera4]

$f(x)=e^x$ se $0<=x<1$
$f(x)=e^(e^({x}))$ se $1<=x<2$
......
......

{x} è continua e derivabile se $x!=n$ con $n$ naturale e pertanto lo sarà anche $f(x)$.

Per $x=n$ è facile rendersi conto che la funzione è continua. Studiamone la derivabilità, per semplicità considero $x=1$:
$lim_(h->0+)(e^(e^({1+h}))-e^(e^({1})))/h=lim_(h->0+)(e^(e^h)-e)/h=e$
$lim_(h->0-)(e^({1+h})-e^(e^({1})))/h=lim_(k->0+)(e^({1-k})-e)/(-k)=lim_(k->0+)(e^(1-k)-e)/(-k)=e$.
Pertanto la funzione è derivabile per $x=1$ e con dimostrazione analoga per $x=n$.
Salvo errori

[carlo232]

"Piera":$f(x)=e^x$ se $0<=x<1$
$f(x)=e^(e^({x}))$ se $1<=x<2$
......
......

{x} è continua e derivabile se $x!=n$ con $n$ naturale e pertanto lo sarà anche $f(x)$.

Per $x=n$ è facile rendersi conto che la funzione è continua. Studiamone la derivabilità, per semplicità considero $x=1$:
$lim_(h->0+)(e^(e^({1+h}))-e^(e^({1})))/h=lim_(h->0+)(e^(e^h)-e)/h=e$
$lim_(h->0-)(e^({1+h})-e^(e^({1})))/h=lim_(k->0+)(e^({1-k})-e)/(-k)=lim_(k->0+)(e^(1-k)-e)/(-k)=e$.
Pertanto la funzione è derivabile per $x=1$ e con dimostrazione analoga per $x=n$.
Salvo errori

Ok,

la cosa interessante di questa funzione è come dice il titolo che cresce molto in fretta e una sua rappresentazione grafica risulta difficile anche adoperando scale logaritmiche.

[Fioravante Patrone1]

"carlo23":
la cosa interessante di questa funzione è come dice il titolo che cresce molto in fretta e una sua rappresentazione grafica risulta difficile anche adoperando scale logaritmiche.

per ogni scala si trova una funzione che cresce troppo (o troppo poco...) per essere "adeguatamente" rappresentata