Funzione BV

[aculsh]

Salve. Sto cercando di provare che la funzione
[tex]f(x)=
\begin{cases}
x^2 \sin(\frac{1}{x}) \quad 0 < x \leq 1 \\
0 \quad x=0
\end{cases}[/tex]
è a variazione limitata. Calcolando la derivata mi viene che essa è derivabile (con derivata uguale a zero in zero) ma la derivata non è continua. Posso dire lo stesso che calcolando l'integrale della derivata ( siccome questo viene finito)
allora la funzione è BV? Ho un dubbio perchè in realtà per fare questo ragionamento la funzione dovrebbe essere
[tex]C^1[/tex], o mi sbaglio?

[dissonance]

"aculsh": per fare questo ragionamento la funzione dovrebbe essere
[tex]C^1[/tex], o mi sbaglio?

MI pare che quella richiesta si faccia più che altro per garantire che gli integrali successivi abbiano senso. Nel tuo caso, è vero che la derivata non è continua ma comunque è integrabile, perciò tutto funziona ugualmente.

Però controlla perché queste sono solo supposizioni così, tanto per dire, e io queste cose le conosco pochissimo.

[Rigel1]

Se tu hai una funzione \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) derivabile in ogni punto e con derivata integrabile, allora la funzione è assolutamente continua e quindi è anche a variazione limitata.
Non conosco una dimostrazione elementare (vale a dire, a livello di analisi I) di questo fatto.