Funzione biunivoca su intervallo aperto
Sia $f: R \to (0,+infty) $ una funzione biunivoca.
Cosa posso dedurre?
a) è continua
b) ammette minimo
c) ammette massimo
d) è limitata
e) non è detto che sia monotona
confesso che ho subito pensato che la funzione dovesse essere monotona, ma il ragionamento è errato
qualcuno mi puo' aiutare a capire?
Cosa posso dedurre?
a) è continua
b) ammette minimo
c) ammette massimo
d) è limitata
e) non è detto che sia monotona
confesso che ho subito pensato che la funzione dovesse essere monotona, ma il ragionamento è errato
qualcuno mi puo' aiutare a capire?
Risposte
Non puoi concludere un bel niente, ecco la risposta esatta. Se non aggiungi qualche richiesta di regolarità, una "funzione" e basta può essere una qualsiasi porcheria indisegnabile. Quindi le risposte a-b-c-d sono tutte false.
Per giustificare a te stesso la (E), puoi pensare a una funzione fatta così:
\[
\phi(x):=
\begin{cases}
e^x+1& \text{se}\ x<0\\
e^{-x}& \text{se}\ x\geq 0
\end{cases}
\]
EDIT: Mannaggia agli algebristi...no, scusa, l'esempio non va: avevo letto "invertibile" (o meglio, così m'era arrivato al cervello
) anzichè "biunivoca", che per le funzioni da $X\subseteq RR$ in $RR$, in Analisi, non sono due cose equivalenti. Vabè, si trova facilmente un esempio.
\[
\phi(x):=
\begin{cases}
e^x+1& \text{se}\ x<0\\
e^{-x}& \text{se}\ x\geq 0
\end{cases}
\]
EDIT: Mannaggia agli algebristi...no, scusa, l'esempio non va: avevo letto "invertibile" (o meglio, così m'era arrivato al cervello
) anzichè "biunivoca", che per le funzioni da $X\subseteq RR$ in $RR$, in Analisi, non sono due cose equivalenti. Vabè, si trova facilmente un esempio.
"Plepp":
EDIT: Mannaggia agli algebristi...no, scusa, l'esempio non va: avevo letto "invertibile" (o meglio, così m'era arrivato al cervello
Scusa stai dicendo che una funzione biunivoca definita su un intervallo non è invertibile? Perchè? Anche se consideriamo la chiusura dell'intervallo? Cioè la cosa vale solo al contrario? Cioè se è invertibile è biunivoca ma se è biunivoca non è detto che sia invertibile?
Ehi ehi calmati 
No, sto dicendo che, in Analisi, la condizione che si deve avere affinchè una funzione (reale di variabile reale) sia invertibile non è la biiettività, ma la sola iniettività. Ovviamente, però, se una funzione è biettiva continua ad essere invertibile (in quanto, essendo biiettiva, la funzione è anche iniettiva).
In sostanza, in Analisi,
\[f\ \text{iniettiva}\iff f\ \text{invertibile}\]
e quindi
\[f\ \text{biiettiva} \implies f\ \text{invertibile}\]
(l'implicazione vale solo "da sinistra a destra").
No, sto dicendo che, in Analisi, la condizione che si deve avere affinchè una funzione (reale di variabile reale) sia invertibile non è la biiettività, ma la sola iniettività. Ovviamente, però, se una funzione è biettiva continua ad essere invertibile (in quanto, essendo biiettiva, la funzione è anche iniettiva).In sostanza, in Analisi,
\[f\ \text{iniettiva}\iff f\ \text{invertibile}\]
e quindi
\[f\ \text{biiettiva} \implies f\ \text{invertibile}\]
(l'implicazione vale solo "da sinistra a destra").
Hmmm, sei sicuro? Attenzione!
Si, sono sicuro 
La definizione che si usa in Analisi è diversa da quella che si usa in Algebra. Tu eri convinto di altro?
EDIT: ah, ecco, ricordavo che se ne fosse già parlato. Se proprio non ti vuoi fidar di me (cosa più che comprensibile: sono un semplice studente), penso che alle parole di Fioravante Patrone tu possa credere
suriettivita-di-una-funzione-monotona-t93718-20.html?hilit=suriettiva#p624789
La definizione che si usa in Analisi è diversa da quella che si usa in Algebra. Tu eri convinto di altro?EDIT: ah, ecco, ricordavo che se ne fosse già parlato. Se proprio non ti vuoi fidar di me (cosa più che comprensibile: sono un semplice studente), penso che alle parole di Fioravante Patrone tu possa credere
suriettivita-di-una-funzione-monotona-t93718-20.html?hilit=suriettiva#p624789
Scusami in che punto della discussione è legittimato questo:
"Plepp":??? Perchè non dovrebbe valere anche nell'altro senso?
\[f\ \text{biiettiva} \implies f\ \text{invertibile}\]
(l'implicazione vale solo "da sinistra a destra").
Qua:
(una funzione può essere invertibile senza essere suriettiva, quindi senza essere biettiva).
PS: questi sono "discorsi" base che si fanno in Analisi 1. Non ti è mai capitato?
"Fioravante Patrone":
E' per questo motivo che gli analisti usano una "definizione" di funzione invertibile DIVERSA dagli algebristi. Per un analista una funzione è invertibile quando è iniettiva
(una funzione può essere invertibile senza essere suriettiva, quindi senza essere biettiva).
PS: questi sono "discorsi" base che si fanno in Analisi 1. Non ti è mai capitato?
Scusate, per dimostrare la correttezza del punto e) potete fornirmi un esempio di funzione che soddisfi le ipotesi di partenza e non sia monotona?
Ho provato a modificare quella di Plepp, ma continua a non essere suriettiva
Ho provato a modificare quella di Plepp, ma continua a non essere suriettiva
Ecco chess
\[
f(x)=
\begin{cases}
e^{-x^2}&\text{se}\ x\leq 0\\
\dfrac{1}{x}+1&\text{se}\ x>0
\end{cases}
\]
\[
f(x)=
\begin{cases}
e^{-x^2}&\text{se}\ x\leq 0\\
\dfrac{1}{x}+1&\text{se}\ x>0
\end{cases}
\]
La tua funzione è sicuramente monotona prendi semplicemente $f(x)=e^x$
BlackNoise, dimmi la definizione di funzione monotona. Grazie. La tua funzione non va bene per l'esempio che cercava chess (esempio che doveva avere lo scopo di rendere chiaro il punto [E] del quiz).
Con questa lascio la conversazione perchè hai deviato la discussione in lidi che odio. $e^x$ più monotona di così...è anche biunivoca, c'ha pure l'inversa che è il logaritmo. Piuttosto la tua funzione ti pare biunivoca? E hai letto che la persona che hai citato aveva iniziato il suo discorso dicendo che valeva solo per f reali di variabile reale cioè con codominio $RR$? O quanto meno la funzione deve essere continua. Vabbè Ciao
1) La continuità NULLA ha a che vedere con questa roba.
2) $e^x$ è monotona (*), siamo d'accordo, la mia funzione no, d'accordo pure qui, ma è invertibile (sia nel senso dell'Algebra che dell'Analisi, così siamo tutti contenti): questo è l'esempio che cercava chess per giustificare a sè stesso il fatto che la risposta giusta fosse la (E). Mi sa che non avevi ben compreso la situazione.
3) Che la funzione sia definita in $RR$ o in un suo sottoinsieme, poco importa. Sono sempre possibili due definizioni di funzione invertibile.
4) Lidi che odi? Mah, sarà...non capisco cosa intendi. Ad ogni modo, contento tu, contenti tutti.
__________________________________________
*vediamo un po, secondo te $g:RR\to RR$, $g(x)=e^x$, è biunivoca eh? Roba da matti...Anche il seno ha un'inversa, ma non si sogna nemmeno di essere invertibile su tutto $RR$.
Ragazzi cercate di non litigare sulle quisquilie. Sono solo convenzioni, sul concetto di "funzione ingettiva" e di "funzione surgettiva" c'è consenso, su quello di "funzione invertibile" no, ma sono solo chiacchiere. Certe volte è comodo considerare invertibili tutte le funzioni ingettive, certe altre no, vabbé.
Basta mettersi d'accordo sulle definizioni e tutto fila liscio. E sennò i fisici che dovrebbero dire? Loro hanno ancora meno uniformità di notazioni rispetto ai matematici eppure non se ne lagnano e si capiscono benissimo lo stesso.
Basta mettersi d'accordo sulle definizioni e tutto fila liscio. E sennò i fisici che dovrebbero dire? Loro hanno ancora meno uniformità di notazioni rispetto ai matematici eppure non se ne lagnano e si capiscono benissimo lo stesso.
Sono d'accordo Dissonance; in fin dei conti, sono stronzate. Però, alle volte nuoce un certo atteggiamento, soprattutto quando si parla di questioni banali.
Penso che quanto hai detto sui fisici valga per chiunque, matematici, informatici ecc. L'importante, è sapere di ciò che si parla
Penso che quanto hai detto sui fisici valga per chiunque, matematici, informatici ecc. L'importante, è sapere di ciò che si parla
grazie Plepp, molto efficace
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