Funzione bigettiva

[Aty1]

E voi come lo svolgereste?

Sia f una funzione R in R definita da f(x)= ax + b con a e b numeri reali, dire per quali valori di a e b questa funzione è bigettiva.
Come caso particolare si deduca che la funzione identità di R è bigettiva.

[_Tipper]

Da $y = ax + b$ segue $x = \frac{y - b}{a}$ se e solo se $a \ne 0$. Quindi la funzione è biiettiva se e solo se $a \ne 0$.

[fransis2]

beh...inttitivamente già si vede che ogni retta parallela all'asse x non è bigettiva mentre ogni altra retta lo è...
comunque: una funzione è bigettiva se e solo se è
1) iniettiva;
2) surgettiva.

i) iniettività: vogliamo che $ax+b=ay+b$ implichi $x=y$, ma da $ax+b=ay+b$ si ottiene $a(x-y)=0$ che per la legge dell'annullamento del prodotto implica $x=y$ oppure $a=0$ (ma in tal caso non è necessario $x=y$). Quindi $a$ diverso da 0.
ii)surgettività: in tale ipotesi si vede che $y$ è anche surgettiva infatti $y=ax+b$ è sempre verificata per $x=-b/a$ che ha senso perchè $a$ è diverso da 0.

[fransis2]

scusa Tipper non mi ero accorto della tua risposta...

[Aty1]

Grazie Tipper,
grazie fransis2.