Funzione assai strana: a^(a^(a^(a^(...))))
Il titolo dice quasi tutto... dato un reale positivo $a$, si consideri la funzione iterata $\phi(a) = a^(a^(a^(...)))$. Chi non è convinto che si tratti di una buona definizione, può vederla in maniera più amichevole come limite della sequenza $a^a$, $a^(a^a)$ eccetera. Un algoritmo facile facile da dare in pasto ad un pc è:
pippo=a
while(un casino)
{
pippo=a^pippo
}
All'aumentare del "casino" la variabile pippo può comportarsi in tre maniere diverse:
1-convergere a un valore costante, che chiamo dunque $\phi(a)$.
2-divergere (overflow!).
3-oscillare tra due valori.
Il valore $p$ dopo il quale la funzione diverge non l'ho ancora localizzato molto bene, ma so per il momento che $1.437 < p<1.45$.
Per valori vicini allo zero, ossia minori di un certo $q$, ($q<0.25$) si ha il comportamento oscillante
Sinceramente non me la cavo molto bene con l'analisi, e non so quali siano gli strumenti che si possono usare nello studio di un problema simili. Come determinare $p$ e $q$? Per quanto riguarda $p$ credo si possa tradurre il tutto in termini di intersezioni di funzioni, ma da lì in poi non so bene cosa fare se non guardare il disegno e grattarmi la barba.
E' estremamente probabile che il problema sia già stato studiato, ma non ho idea di come impostare una ricerca. Se avete qualche buon consiglio bibliografico...
Spero vi siate incuriositi.
Ciao.
pippo=a
while(un casino)
{
pippo=a^pippo
}
All'aumentare del "casino" la variabile pippo può comportarsi in tre maniere diverse:
1-convergere a un valore costante, che chiamo dunque $\phi(a)$.
2-divergere (overflow!).
3-oscillare tra due valori.
Il valore $p$ dopo il quale la funzione diverge non l'ho ancora localizzato molto bene, ma so per il momento che $1.437 < p<1.45$.
Per valori vicini allo zero, ossia minori di un certo $q$, ($q<0.25$) si ha il comportamento oscillante
Sinceramente non me la cavo molto bene con l'analisi, e non so quali siano gli strumenti che si possono usare nello studio di un problema simili. Come determinare $p$ e $q$? Per quanto riguarda $p$ credo si possa tradurre il tutto in termini di intersezioni di funzioni, ma da lì in poi non so bene cosa fare se non guardare il disegno e grattarmi la barba.
E' estremamente probabile che il problema sia già stato studiato, ma non ho idea di come impostare una ricerca. Se avete qualche buon consiglio bibliografico...
Spero vi siate incuriositi.
Ciao.
Risposte
Non ho capito il problema e cosa sono p e q?
Cioè non capisco qual'è il problema...
Cioè non capisco qual'è il problema...
panurge, saggia modestia la tua! In effetti il problema è stato studiato. Figurati, con tutti i matematici in circolazione (o stati in circolazione)!
Come vedrai, comunque ti stavi muovendo nella giusta direzione.
Puoi dare un'occhiata qui:
http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/ther/tower.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration# ... te_heights
http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html
e anche qui (ma a prima vista suggerirei cautela, non mi pare sia affrontato il problema della def precisa di questa esponenziazione infinita):
http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/inf ... iation.htm
Come vedrai, comunque ti stavi muovendo nella giusta direzione.
Puoi dare un'occhiata qui:
http://www.faculty.fairfield.edu/jmac/ther/tower.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration# ... te_heights
http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html
e anche qui (ma a prima vista suggerirei cautela, non mi pare sia affrontato il problema della def precisa di questa esponenziazione infinita):
http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/inf ... iation.htm
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