Funzione asintotica
Data la funzione $log (e^(2x) - 3x) $ la funziona asintotica per $x -> +oo $ è $2x$ (ho diviso l'argomento per $e^(2x)$ poi diviso il prodotto dell'argomento nella somma di due logaritmi e infine diviso per $2x).
Invece per $x -> 0$ ? Non ho la più pallida idea di come si trovi
Invece per $x -> 0$ ? Non ho la più pallida idea di come si trovi
Risposte
$log (1 + ((e^(2x) - 1) - 3x)) $
Si ho pensato al limite notevole $(e^x - 1)/x = 1$ per $x -> 0$ e ho provato anche a dividere l'argomento che mi hai scritto per $e^(2x) - 1$ ma non mi viene in mente niente
$lim_(x -> 0 ) log (1 + ((e^(2x) - 1) - 3x)) = lim_(x -> 0 ) (log (1 + ((e^(2x) - 1) - 3x)) )/((e^(2x) - 1) - 3x) * ((e^(2x) - 1) - 3x)$
Quindi...
Quindi...
Pongo $t = e^(2x)-1-3x$ e viene:
$ lim_(t -> 0) log(1+t)/t * t$ che è uguale a $0$ e non ho concluso una beata mazza perchè il limite deve venire 1
$ lim_(t -> 0) log(1+t)/t * t$ che è uguale a $0$ e non ho concluso una beata mazza perchè il limite deve venire 1
"leed":
Pongo $t = e^(2x)-1-3x$ e viene:
$ lim_(t -> 0) log(1+t)/t * t$ che è uguale a $0$ e non ho concluso una beata mazza perchè il limite deve venire 1
Non stai ragionando sui passaggi che fai, questo è il problema.
Se calcoli questo $ lim_(f(x) -> 0) log(1+ f(x) ) $ e calcoli questo $ lim_(f(x) -> 0) (log(1+ f(x) ))/(f(x)) * f(x) $ , il risultato non cambia.
Ciò che hai scoperto scrivendo il limite nella seconda maniera è che $log(1+ f(x) ) sim f(x)$ , per $f(x) -> 0$ (i due infinitesimi sono equivalenti).
Quindi, volendo, la tua funzione di partenza è asintotica alla funzione $e^(2x) - 1 - 3x$, che è a sua volta asintotica a $- x$.
Scusami veramente! Ci ho pensato stanotte che quel logaritmo era asintotico ad $f(x)$! Sono stato veramente ingenuo e poco attento.
Invece per quanto riguarda $e^(2x) -1 - 3x$ ho capito perchè è asintotico ad $-x$, infatti:
$-x ((e^(2x)-1-3x)/-x)$
$-x ((e^(2x)-1)/-x -(3x)/-x))$
$-x ((e^(2x)-1)/-x +3))$
$-x (((e^(2x)-1)/(2x))*(-2) +3)$
e quindi per $x -> 0$ abbiamo che $((e^(2x)-1)/(2x))*(-2) +3$ tende ad $1$. Di conseguenza:
$ lim_(x -> 0) (-x (((e^(2x)-1)/(2x))*(-2) +3))/-x = 1$
Il problema principale è: come hai fatto a capire che era asintotico ad $-x$? C'è una regola standard? Io per esempio avrei diviso al massimo per $x$.
Dividere per $-x$ non credo che mi sarebbe mai venuto in mente...
Grazie ancora per la pazienza.
Invece per quanto riguarda $e^(2x) -1 - 3x$ ho capito perchè è asintotico ad $-x$, infatti:
$-x ((e^(2x)-1-3x)/-x)$
$-x ((e^(2x)-1)/-x -(3x)/-x))$
$-x ((e^(2x)-1)/-x +3))$
$-x (((e^(2x)-1)/(2x))*(-2) +3)$
e quindi per $x -> 0$ abbiamo che $((e^(2x)-1)/(2x))*(-2) +3$ tende ad $1$. Di conseguenza:
$ lim_(x -> 0) (-x (((e^(2x)-1)/(2x))*(-2) +3))/-x = 1$
Il problema principale è: come hai fatto a capire che era asintotico ad $-x$? C'è una regola standard? Io per esempio avrei diviso al massimo per $x$.
Dividere per $-x$ non credo che mi sarebbe mai venuto in mente...
Grazie ancora per la pazienza.
scusa per caso mi potresti spiegare il procedimento per $x->oo$ come fai
io ho capito che dividi l argomento di $log(e^(2x)-3x)$ per $e^(2x)$ cosi viene $loge^(2x)(1-((3x)/e^(2x)))$ cosi lo scomponi $loge^(2x)+log(1-((3x)/e^(2x)))$-->$2x+log(1-(3x)/e^(2x))$
poi come continui??grazie
io ho capito che dividi l argomento di $log(e^(2x)-3x)$ per $e^(2x)$ cosi viene $loge^(2x)(1-((3x)/e^(2x)))$ cosi lo scomponi $loge^(2x)+log(1-((3x)/e^(2x)))$-->$2x+log(1-(3x)/e^(2x))$
poi come continui??grazie
"leed":
Dividere per $-x$ non credo che mi sarebbe mai venuto in mente...
Grazie ancora per la pazienza.
Intanto devi capire di che razza di ordine di infinitesimo si tratta. Allora lo confronti con $x$ e nel tuo caso va tutto bene, perché il limite risulta finito e diverso da $0$ (questo significa che l'infinitesimo che stai studiando ha lo stesso ordine di $x$).
Quindi sai che :
$ lim_(x -> 0) (e^(2x) - 1 - 3x)/x = - 1$
ma allora ovviamente (per i teoremi sui limiti) : $ lim_(x -> 0) (e^(2x) - 1 - 3x)/(-x) = - (- 1 ) = 1$
"obelix23":
scusa per caso mi potresti spiegare il procedimento per $x->oo$ come fai
Non ci vuole molto a capire che quella funzione, per $x$ molto grandi , si comporta come $2x$... Infatti il secondo addendo è infinitesimo.
"Seneca":
Intanto devi capire di che razza di ordine di infinitesimo si tratta. Allora lo confronti con $x$ e nel tuo caso va tutto bene, perché il limite risulta finito e diverso da $0$ (questo significa che l'infinitesimo che stai studiando ha lo stesso ordine di $x$).
Quindi sai che :
$ lim_(x -> 0) (e^(2x) - 1 - 3x)/x = - 1$
ma allora ovviamente (per i teoremi sui limiti) : $ lim_(x -> 0) (e^(2x) - 1 - 3x)/(-x) = - (- 1 ) = 1$
Quindi se quel limite per esempio fosse stato uguale a $2$ avrei diviso primo e secondo membro per $2$ e avrei ottenuto come funzione asintotica $2x$ ?
"obelix23":
scusa per caso mi potresti spiegare il procedimento per $x->oo$ come fai
io ho capito che dividi l argomento di $log(e^(2x)-3x)$ per $e^(2x)$ cosi viene $loge^(2x)(1-((3x)/e^(2x)))$ cosi lo scomponi $loge^(2x)+log(1-((3x)/e^(2x)))$-->$2x+log(1-(3x)/e^(2x))$
poi come continui??grazie
Abbiamo detto che viene:
$2x+log(1-(3x)/e^(2x))$
Raccogli un $2x$ e ottieni:
$2x(1 +(log(1-(3x)/e^(2x))/(2x))$
Sappiamo che $(3x)/e^(2x)$ per $x -> +oo$ è uguale a $0$ per ordine di infiniti, quindi il logaritmo tende a $0$ (perchè rimane solo l'$1$). Quindi $0$ su infinito (perchè $2x$ tende all'infinito) fa $0$ e di conseguenza dentro la parentesi rimane solo l'$1$!
Spero di essere stato chiaro
Io faccio così, sì.
Perfetto, grazie mille 
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