Funzione armonica.

[Uomosenzasonno]

Ciao, scorrendo tra i vari compiti d'esame passati del mio prof, ho trovato questo esercizio. Non avendo possibilità di vedere se il mio ragionamento è corretto, ho come unica strada quella di chiedere al forum (oppure dare le mie ipotesi x giuste ). In realtà l'esercizio mi sembra particolarmente facile, salvo la necessità di argomentare opportunamente i vari passaggi.

Allora: dire se la seguente funzione è armonica e trovare tutte le funzioni olomorfe per le quali tale funzione è la parte reale:

$u(x,y)=e^(-3x)sin(3y)$

Allora, la funzione è armonica quando questa soddisfa l'equazione di laplace: $u_(x x)+u_(yy) = 0$. Come è facile vedere, la nostra $u(x,y)$ soddisfa tale equazione.

Ora, dalle condizioni di Cauchy-Riemann, so' che $u_x = v_y$, dove $v(x,y)$ è la parte immaginaria delle funzioni che hanno $u(x,y)$ come parte reale.

Allora $u_x(x,y) = -3e^(-3x)sin(3y) = v_y(x,y)$

Da cui $v(x,y) = int -3e^(-3x)sin(3y)dy = e^(-3x)cos(3y) + k$ con $k in C$

Le funzioni $f(z)$ richieste sono:

$f(z) = e^(-3x)(sin(3y) + cos(3y)) + k$

tutto corretto? Vado tranquillo?

OT: Evvai ho due stellette!!!! XD

[ciampax]

"Uomosenzasonno":

Allora $u_x(x,y) = -3e^(-3x)sin(3y) = v_y(x,y)$

Da cui $v(x,y) = int -3e^(-3x)sin(3y)dy = e^(-3x)cos(3y) + k$ con $k in C$

No: in generale $v(x,y)=e^{-3x}\cos(3y)+g(x)$. Tra l'altro $u,\ v$ sono due funzioni reali, quindi non puoi metterci costanti complesse!!!!

[Uomosenzasonno]

"ciampax":[quote="Uomosenzasonno"]

Allora $u_x(x,y) = -3e^(-3x)sin(3y) = v_y(x,y)$

Da cui $v(x,y) = int -3e^(-3x)sin(3y)dy = e^(-3x)cos(3y) + k$ con $k in C$

No: in generale $v(x,y)=e^{-3x}\cos(3y)+g(x)$. Tra l'altro $u,\ v$ sono due funzioni reali, quindi non puoi metterci costanti complesse!!!![/quote]

Mi sembra un'obiezione più che legittima.
Grazie!!