Funzione arcosin

[lucadigirolamo]

Buonasera,
ragazzi non riesco a capire come risolvere questa disequazione:
$ arcsin(x)< π/3 $
Di solito sono piu semplici e guardando il grafico è semplice risolvere, in questo modo mi sono bloccato. Ovviamente gia ho argomentato x tra -1 e 1

[cooper1]

qual è la funzione inversa dell'arcoseno?

[lucadigirolamo]

seno alla meno 1

[cooper1]

tralasciando che -1 è solo una convenzione di simboli per capirsi, la risposta è sbagliata. semmai la l'inversa del seno è $sin^(-1)x$. dove il ì1 indica l'inversa e non la potenza. in realtà questa funzione ha anche un nome: arcoseno. di conseguenza l'inversa dell'arcoseno non può essere l'arcoseno.
detto ciò se sai che l'inversa del seno è l'arcoseno, allora l'inversa dell'arcoseno è il seno.

[lucadigirolamo]

grazie mille, però volevo chiederti,scusami l'ignoranza, siccome ho arcoseno , perché devo applicare l'inversa?

[cooper1]

perchè noi vogliamo isolare la x e per farlo abbiamo bisogno di levarci di torno l'arcoseno. usando l'inversa si ha che $sin(arcsinx)=x$.
è come se avessi $logx=3$. per liberarti del logaritmo non useresti l'esponenziale? e cos'è l'esponenziale se non l'inversa del logaritmo?

[lucadigirolamo]

quindi facendo un esempio se avevamo la stessa disequazione ma al posto dell arcsin avevamo solo sin per isolarci la x facevamo l'arcsin. giusto?

ti chiedo questo perchè io so che se ad esempio ho $ sen x > 0 $ io vado a vedere la funzione seno e prendo i valori quando il seno è maggiore di zero, ovvero l'intervallo $ 0 < x < π $

quindi allo stesso modo pensavo che dovevo vedere la funzione arcsin e vedere quand'è maggiore di $ π/3 $ ma ovviamente guardavo il grafico e non ne venivo a capo.

ti sarei grato se mi chiarisci questa situazione in quanto tra poco più di una settimana ho la prima prova intercorso di analisi su domini , complessi e successioni e i domini mi stanno dando problemi.

Grazie mille!!

[cooper1]

"lucamql":quindi facendo un esempio se avevamo la stessa disequazione ma al posto dell arcsin avevamo solo sin per isolarci la x facevamo l'arcsin. giusto?

esatto!

"lucamql":ti chiedo questo perchè io so che se ad esempio ho senx>0 io vado a vedere la funzione seno e prendo i valori quando il seno è maggiore di zero, ovvero l'intervallo 0
attento che mancano però le periodicità.

non farti influenzare dalla presenza di funzioni trigonometriche. fai come in una qualunque altra funzione. se hai l'esponenziale usi il logaritmo, se hai una radice elevi ad una potenza dello stesso ordine (per es se hai una radice quadra elevi al quadrato - stando attento ai domini ecc).
allo stesso modo se hai il seno usi l'arcoseno, se hai il coseno usi l'arcocoseno, se hai la tangente usi l'arcotangente ecc... lo facciamo appunto perchè per definizione la composizione di una funzione con l'inversa restituisce l'argomento. l'operazione va fatta ad ambo i membri per cui sinistra ottieni x mentre a destra ottieni $sin (pi/3)$. poi continui normalmente.

[lucadigirolamo]

aaaaaaaaahh okok sei stato chiarissimo ,grazie mille...
davvero molte grazie

[lucadigirolamo]

scusami se ti disturbo di nuovo, un ultimo piccolo chiarimento, se ad esempio avevo $ arcsin(x+1)<π/3 $ alla fine mi trovavo $ x-1

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[cooper1]

"lucamql":aaaaaaaaahh okok sei stato chiarissimo ,grazie mille...
davvero molte grazie

di nulla!

"lucamql":scusami se ti disturbo di nuovo, un ultimo piccolo chiarimento, se ad esempio avevo $ arcsin(x+1)<π/3 $ alla fine mi trovavo $ x-1 e poi ovviamente ricaviamo la x in modo elementare. Giusto?

corretto!