Funzione analticia
Salve ,
Ho la funzione $f(z)=z^(c)(z)^2/(¦z|)^2$ dove c è il complesso coniugato.
L'esercizio mi chiede se questa è analitica per ogni z , analitica in z =1 , mai analitica o analitica all'infinito.
Potrei esprimere $z=x+jy$ e quindi dovrebbe venire $f(z)=(x-jy)*((x+jy)^2/(x^2+y^2))$ = $f(z)=(x-jy)*((x^2-y^2+2xyj)/(x^2+y^2))$
A questo punto se applico la condizione di Cauchy-Reimann dovrei verificare se è analitica , tuttavia risultano un casino di calcoli da fare con l
e derivate parziali. Quindi dovrebbe esserci un metodo più rapido (in questo caso particolare) per individuare la risposta corretta ma non
la trovo. qualcuno potrebbe aiutarmi ?
Grazie
Ben
Ho la funzione $f(z)=z^(c)(z)^2/(¦z|)^2$ dove c è il complesso coniugato.
L'esercizio mi chiede se questa è analitica per ogni z , analitica in z =1 , mai analitica o analitica all'infinito.
Potrei esprimere $z=x+jy$ e quindi dovrebbe venire $f(z)=(x-jy)*((x+jy)^2/(x^2+y^2))$ = $f(z)=(x-jy)*((x^2-y^2+2xyj)/(x^2+y^2))$
A questo punto se applico la condizione di Cauchy-Reimann dovrei verificare se è analitica , tuttavia risultano un casino di calcoli da fare con l
e derivate parziali. Quindi dovrebbe esserci un metodo più rapido (in questo caso particolare) per individuare la risposta corretta ma non
la trovo. qualcuno potrebbe aiutarmi ?
Grazie
Ben
Risposte
"ben":
Salve ,
Ho la funzione $f(z)=z^(c)(z)^2/(¦z|)^2$ dove c è il complesso coniugato.
L'esercizio mi chiede se questa è analitica per ogni z , analitica in z =1 , mai analitica o analitica all'infinito.
Prova a sostituire al posto di $|z|^2$ il prodotto $z^{c} z$ e vedrai che sarà tutto più chiaro.
Francesco Daddi
"franced":
Prova a sostituire al posto di $|z|^2$ il prodotto $z^{c} z$ e vedrai che sarà tutto più chiaro.
Francesco Daddi
azz...
$|z|^2=x^2+y^2=z^c*z=(x-jy)*(z+jy)$
$f(z)=(x-jy)*(x+jy)^2/((x-jy)*(x+jy))=(x+jy)$
$f(z)=(x+jy)$
$(df)/\dx=1$
$1/j(df)/dy=1/j*j=1$
Quindi é sempre analitica ... grazie franced non immaginavo proprio andasse vista cosi'... era proprio una ca..ata
Pensa che ero arrivato a fare le parziali di una fratta che ci voleva un moment per finirla ...
"ben":
[quote="franced"]
Prova a sostituire al posto di $|z|^2$ il prodotto $z^{c} z$ e vedrai che sarà tutto più chiaro.
Francesco Daddi
azz...
$|z|^2=x^2+y^2=z^c*z=(x-jy)*(z+jy)$
$f(z)=(x-jy)*(x+jy)^2/((x-jy)*(x+jy))=(x+jy)$
$f(z)=(x+jy)$
$(df)/\dx=1$
$1/j(df)/dy=1/j*j=1$
Quindi é sempre analitica ... grazie franced non immaginavo proprio andasse vista cosi'... era proprio una ca..ata
Pensa che ero arrivato a fare le parziali di una fratta che ci voleva un moment per finirla ...
[/quote]Attento, in $z=0$ la funzione non è definita, ma è prolungabile.
Francesco Daddi
"franced":
[quote="ben"][quote="franced"]
Prova a sostituire al posto di $|z|^2$ il prodotto $z^{c} z$ e vedrai che sarà tutto più chiaro.
Francesco Daddi
azz...
$|z|^2=x^2+y^2=z^c*z=(x-jy)*(z+jy)$
$f(z)=(x-jy)*(x+jy)^2/((x-jy)*(x+jy))=(x+jy)$
$f(z)=(x+jy)$
$(df)/\dx=1$
$1/j(df)/dy=1/j*j=1$
Quindi é sempre analitica ... grazie franced non immaginavo proprio andasse vista cosi'... era proprio una ca..ata
Pensa che ero arrivato a fare le parziali di una fratta che ci voleva un moment per finirla ...
[/quote]Attento, in $z=0$ la funzione non è definita, ma è prolungabile.
Francesco Daddi[/quote]
La funzione è
$f(z)=z$ se $z \ne 0$
mentre in $z=0$ non è definita.
Va prolungata ponendo ovviamente $f(0)=0$.
Francesco Daddi
mmm non é definita per lo 0 a denominatore ?
quindi mi stai dicendo che é analitica per ogni Z che appartiene a C , eccetto che
in z=0 in cui non é definita ma prolungabile ?
Pero' non avendo io come alternativa tale risposta nel quiz , per il teorema di
prima credo sia corretto rispondere che é sempre analitica o no ?
grazie
Ben
quindi mi stai dicendo che é analitica per ogni Z che appartiene a C , eccetto che
in z=0 in cui non é definita ma prolungabile ?
Pero' non avendo io come alternativa tale risposta nel quiz , per il teorema di
prima credo sia corretto rispondere che é sempre analitica o no ?
grazie
Ben
è tutto sbagliato quello che ho scritto ?
mi potresti spiegare per favore ?
mi potresti spiegare per favore ?
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