Funzione analitica II
Costruire una funzione analitica $f(z)$ la cui parte reale coincida con $e^(-x)*(x*cosy + y*siny)$ e tale che f(0) = 1.
Come si procede?
grazie a tutti quelli che ci proveranno.
Come si procede?
grazie a tutti quelli che ci proveranno.
Risposte
"Pivot":
Costruire una funzione analitica $f(z)$ la cui parte reale coincida con $e^(-x)*(x*cosy + y*siny)$ e tale che f(0) = 1.
Come si procede?
grazie a tutti quelli che ci proveranno.
Dovrebbe essere $f(z)=ze^z$, l'ho trovata per tentativi, non sò se c'è un metodo generale...
cioè come per tentativi????
No è errato non e quello il risultato
Il risultato te lo dà come funzione di z o di x,y?
Come funzione di z
[Avevo digitato male è $f(z)=ze^(-z)
Ci sei quasi deve uscire: $ze^(-z) + 1$
Ma devi dirmi come ci sei arrivato però....
Ma devi dirmi come ci sei arrivato però....
"Pivot":
Ci sei quasi deve uscire: $ze^(-z) + 1$
Ma devi dirmi come ci sei arrivato però....
Ha già che scemo dimenticavo la condizione al contorno $f(0)=0$!
Non è che ci sia arrivato in modo tecnico, il secondo fattore della parte reale mi faceva pensare a una potenza complessa di $e$, ho scritto un pò di potenze e ho trovato la formula.
Come ho già detto non conosco un metodo generale, mi spiace...
Cmq. era $f(0) = 1$.
ok ora rivedo i miei conti e provo a vedere se mi trovo uguale. Ciao
ok ora rivedo i miei conti e provo a vedere se mi trovo uguale. Ciao
Mi fai vedere qualche passaggio? Non mi viene in mente nulla, in questo momento.
Ma allora la parte reale della funzione non dovrebbe essere $ e^-x(xcosy+yseny)+1 $ ?
@ Pivot : devi sempre partire dalle condizioni di Cauchy Riemann :
in questo caso è data la parte reale di f(z) cioè quella che comunemente viene indicata come : u(x,y) essendo :
$f(z ) = u(x,y) +i v(x,y )$, tu sai quanto vale $u(x,y) $ , adesso usa le condizioni di C-R , se tu derivi questa u(x,y) rispetto ad x ottieni la derivata di v(x,y) rispetto ad y . Adesso integra quello che ottieni rispetto ad y e otterrai a meno di una funzione ignota di x la funzione v(x,y) e poi c'è ancora da lavorare...
Camillo
in questo caso è data la parte reale di f(z) cioè quella che comunemente viene indicata come : u(x,y) essendo :
$f(z ) = u(x,y) +i v(x,y )$, tu sai quanto vale $u(x,y) $ , adesso usa le condizioni di C-R , se tu derivi questa u(x,y) rispetto ad x ottieni la derivata di v(x,y) rispetto ad y . Adesso integra quello che ottieni rispetto ad y e otterrai a meno di una funzione ignota di x la funzione v(x,y) e poi c'è ancora da lavorare...
Camillo
ok Camillo ho seguito la tua procedura e mi trovo con
V(x,y) = sin(y)*e^(-x) * (x - y) + C
Ora come si procede?
V(x,y) = sin(y)*e^(-x) * (x - y) + C
Ora come si procede?
Dunque $ u(x,y ) = e^(-x)(xcosy+ysiny ) $
Derivi questa funzione rispetto ad x e ottieni $(du)/dx = -e^(-x)((x-1)cosy+ysiny ) $ e adesso la integri rispetto ad y e otterrai, a parte una funzione ignota g(x), la funzione $ v(x,y) = e^(-x)(ycosy-xsiny)+g(x) $.
Per determinare g(x) deriva la v(x,y) rispetto ad x ed uguagliala a $ - (du)/dy$ ; vedrai che la g(x) è una costante e quindi $ f(x+iy) = e^(-x)(xcosy +ysiny) +ie^(-x) (ycosy-xsiny )+k$ ; ma $ f(0+i0) = 1$ e quindi : $k = 1$.
Adesso va rimaneggiata opportunamente , ed è forse la parte più fastidiosa , per trovare la funzione di z che essa rappresenta :
$ f(x) = f(x+iy) = e^(-x)(xcosy-ixsiny + ysiny+iycosy)+1 = e^(-x)(xe^(-iy) +iye^(-iy))+1 = e^(-x-iy)(x+iy ) +1 = $
$e^(-z)z +1 $.Finalmente !!! ok ?
Camillo
Derivi questa funzione rispetto ad x e ottieni $(du)/dx = -e^(-x)((x-1)cosy+ysiny ) $ e adesso la integri rispetto ad y e otterrai, a parte una funzione ignota g(x), la funzione $ v(x,y) = e^(-x)(ycosy-xsiny)+g(x) $.
Per determinare g(x) deriva la v(x,y) rispetto ad x ed uguagliala a $ - (du)/dy$ ; vedrai che la g(x) è una costante e quindi $ f(x+iy) = e^(-x)(xcosy +ysiny) +ie^(-x) (ycosy-xsiny )+k$ ; ma $ f(0+i0) = 1$ e quindi : $k = 1$.
Adesso va rimaneggiata opportunamente , ed è forse la parte più fastidiosa , per trovare la funzione di z che essa rappresenta :
$ f(x) = f(x+iy) = e^(-x)(xcosy-ixsiny + ysiny+iycosy)+1 = e^(-x)(xe^(-iy) +iye^(-iy))+1 = e^(-x-iy)(x+iy ) +1 = $
$e^(-z)z +1 $.Finalmente !!! ok ?
Camillo
Allora, mi trovo cosi:
$C'(x) = e^(-x) * [(x+y-1)*cos(y) + (y-x+1)*sin(y)]$
speriamo bene
$C'(x) = e^(-x) * [(x+y-1)*cos(y) + (y-x+1)*sin(y)]$
speriamo bene
Che cos'è $C'(x) $ ?
Ciao Camillo, grazie dei chiarimenti sono stati molto utili. Avrei voluto risponderti prima ma non sono ruoscito ad accedere al forum...un problema del server credo. Cmq. l'esercizio alla fine l'ho risolto e mi trovo come avevi detto tu 
Come al solito sbagliavo i conti, perchè li facevo infreta, e mi portavo avanti un $cos$ che poi non mi faceva uscire l'esercizio.
Come al solito sbagliavo i conti, perchè li facevo infreta, e mi portavo avanti un $cos$ che poi non mi faceva uscire l'esercizio.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo