Funzione analitica: definizione senza alcune cose
Come si definisce una funzione analitica senza considerare l'olomorfismo e la serie di Fourier?
Basta dire che se f appartiene alla classe C infinito, e f è somma di potenze allora la funzione è analitica?
ciao
Basta dire che se f appartiene alla classe C infinito, e f è somma di potenze allora la funzione è analitica?
ciao
Risposte
Questa mi sembra una definizione rigoroso e ortodossa:
Sia $ OMEGA $ un aperto di $ CC $ . Una funzione $ f $ definita in $ OMEGA $ e a valori in $ CC $ si dice analitica in
$ OMEGA $ se, per ogni punto $ zeta $ di $ OMEGA $ , esiste un intorno di $ zeta $ contenuto in $ OMEGA $ nel quale $ f $
risulta somma di una serie di potenze. Equivalentemente, per ogni $ zeta $ appartenente ad $ OMEGA $ , $ f $ è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $ zeta $ .
Sia $ OMEGA $ un aperto di $ CC $ . Una funzione $ f $ definita in $ OMEGA $ e a valori in $ CC $ si dice analitica in
$ OMEGA $ se, per ogni punto $ zeta $ di $ OMEGA $ , esiste un intorno di $ zeta $ contenuto in $ OMEGA $ nel quale $ f $
risulta somma di una serie di potenze. Equivalentemente, per ogni $ zeta $ appartenente ad $ OMEGA $ , $ f $ è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $ zeta $ .
Questa mi sembra una definizione rigorosa e ortodossa:
Sia $ Omega $ un aperto di $ CC $ . Una funzione $ f $ definita in $ Omega $ e a valori in $ CC $ si dice analitica in
$ Omega $ se, per ogni punto $ zeta $ di $ Omega $ , esiste un intorno di $ zeta $ contenuto in $ Omega $ nel quale $ f $
risulta somma di una serie di potenze. Equivalentemente, per ogni $ zeta $ appartenente ad $ Omega $ , $ f $ è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $ zeta $ .
Piccola rettifica formale
Sia $ Omega $ un aperto di $ CC $ . Una funzione $ f $ definita in $ Omega $ e a valori in $ CC $ si dice analitica in
$ Omega $ se, per ogni punto $ zeta $ di $ Omega $ , esiste un intorno di $ zeta $ contenuto in $ Omega $ nel quale $ f $
risulta somma di una serie di potenze. Equivalentemente, per ogni $ zeta $ appartenente ad $ Omega $ , $ f $ è sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale $ zeta $ .
Piccola rettifica formale
"Kroldar":
$ zeta $
cosa è questo simbolo?
quindi quale è l'una e quale è l'altra?
o cmq quale è la giusta?la seconda?
ho messo $ zeta $ per indicare un generico punto di $ Omega $ ... avrei potuto benissimo mettere $ z_(0) $ . Le due definizioni, come ho scritto, sono equivalenti: questo vuol dire che dire la prima e dire la seconda equivale a dire la stessa cosa in due modi diversi, infatti si verifica facilmente che l'una implica l'altra.
quindi alla mia definizione basta aggiungere l'intorno da considerare, giusto?
ciao e grazie
ciao e grazie
La tua definizione è intuitiva... se vuoi renderla rigorosa basta riformularla spendendo qualche parola in più come ti ho scritto
ok grazie
ciao
ciao
se la serie di taylor converge a f, ed f è sviluppabile in serie di taylor, f è nalitica. E' giusto come ragionamento/consequenzialità?
si
si, va bene?
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