Funzione analitica

[fabiofrutti94]

Salve,
Qualcuno saprebbe spiegarmi come dimostrare l'analiticità della funzione $f(x)=(1-cos(2x))/x^2$ ?
Mi serve solo l'analiticità no lo sviluppo di taylor quello riesco a determinarlo .
Grazie

[javicemarpe]

viewtopic.php?f=36&t=171657

[fabiofrutti94]

Ok il polinomio di taylor della funzione è
$ \sum_{n=1}^(\infty) ((-1)^(n+1)2^(2n))/(2n!)x^(2n-2)$
Ma come lo dimostro che è analitica? Cioè come provo che tale serie converge alla mia funzione?

[javicemarpe]

Well, you know that $cos(2x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}$ for all $x\in\mathbb{R}$, so $1-\cos(2x)=1-\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}$ for all $x\in\mathbb{R}$ and, then, $\frac{1-\cos(2x)}{x^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}2^{2n}}{(2n)!}x^{2n-2}$ for all $x\in\mathbb{R}$.

[fabiofrutti94]

It is sufficient?

[javicemarpe]

Of course. You proved that ther series $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}2^{2n}}{(2n)!}x^{2n-2}$ coincides with $\frac{1-\cos(2x)}{x^2}$ for all $x\in\mathbb{R}$. The result follows because of the unicity of the power series expansion.

[axpgn]

@javicemarpe
[ot]I think that "uniqueness" is better than "unicity" and more usual ... IMHO ... [/ot]

[javicemarpe]

"axpgn":@javicemarpe
[ot]I think that "uniqueness" is better than "unicity" and more usual ... IMHO ... [/ot]

Thank you! As you can see, I can't speak Italian nor English