Funzione a tre variabili, massimi e minimi
Buongiorno,
Mi trovo in difficoltà nel calcolare i massimi e minimi della seguente funzione a tre variabili: $f(x,y,z)=2x^2+4y^2+z^2+4yz$
Allora, io calcolerei le tre derivate parziali e ponendole uguali a zero, trovo i possibili punti stazionari. Mi verrebbe quindi un punto stazionario in funzione di z, ovvero $P=(0,-z/2,z)$
Il problema è che andando ora a calcolare il determinante della matrice Hessiana, questo risulta nullo, come procedo dunque?
E soprattutto, è giusto quanto detto?
Grazie
Mi trovo in difficoltà nel calcolare i massimi e minimi della seguente funzione a tre variabili: $f(x,y,z)=2x^2+4y^2+z^2+4yz$
Allora, io calcolerei le tre derivate parziali e ponendole uguali a zero, trovo i possibili punti stazionari. Mi verrebbe quindi un punto stazionario in funzione di z, ovvero $P=(0,-z/2,z)$
Il problema è che andando ora a calcolare il determinante della matrice Hessiana, questo risulta nullo, come procedo dunque?
E soprattutto, è giusto quanto detto?
Grazie
Risposte
Prova a calcolare la funzione nei punti stazionari e ragiona su quello che puoi concludere
La funzione di 3 variabili è difficile da immaginare visivamente, quindi invece di darti la risposta subito, ti propongo un caso analogo, ma più facilmente "visibile".
Se la funzione fosse di 2 variabili, e in particolare
$f(x,y) = (x-y)^2$
potresti immaginartela come una superficie nello spazio che ha quota $z = f(x,y)$ nel punto $(x,y)$; te la riesci a immaginare? Se proprio non ci riesci, allora scrivi su google z = (x-y)^2 e la vedrai. E allora capirai chi sono i massimi/minimi relativi.
Ma se provassi ad annullare il gradiente come hai fatto nel tuo caso? Ti troveresti nello stesso problema. Questo che cosa vuol dire allora?
Se la funzione fosse di 2 variabili, e in particolare
$f(x,y) = (x-y)^2$
potresti immaginartela come una superficie nello spazio che ha quota $z = f(x,y)$ nel punto $(x,y)$; te la riesci a immaginare? Se proprio non ci riesci, allora scrivi su google z = (x-y)^2 e la vedrai. E allora capirai chi sono i massimi/minimi relativi.
Ma se provassi ad annullare il gradiente come hai fatto nel tuo caso? Ti troveresti nello stesso problema. Questo che cosa vuol dire allora?
"Wilde":
Prova a calcolare la funzione nei punti stazionari e ragiona su quello che puoi concludere
Nel punto stazionario dipendente da z che ho trovato la funzione si annulla per qualunque valore di z.... ma questo che significa?
"Aster89":
La funzione di 3 variabili è difficile da immaginare visivamente, quindi invece di darti la risposta subito, ti propongo un caso analogo, ma più facilmente "visibile".
Se la funzione fosse di 2 variabili, e in particolare
$ f(x,y) = (x-y)^2 $
potresti immaginartela come una superficie nello spazio che ha quota $ z = f(x,y) $ nel punto $ (x,y) $; te la riesci a immaginare? Se proprio non ci riesci, allora scrivi su google z = (x-y)^2 e la vedrai. E allora capirai chi sono i massimi/minimi relativi.
Ma se provassi ad annullare il gradiente come hai fatto nel tuo caso? Ti troveresti nello stesso problema. Questo che cosa vuol dire allora?
Sarò ritardato, ma non riesco ad arrivarci
la funzione negli altri punti e' %>=$ 0
provalo a dimostrare (per esempio maggiorando la f con una funzione di soli quadrati )
Allora cosa puoi concludere ?
provalo a dimostrare (per esempio maggiorando la f con una funzione di soli quadrati )
Allora cosa puoi concludere ?
Mmm...quindi il punto stazionario precedentemente trovato è un minimo? e più precisamente ci sono infiniti minimi per ogni valore di z?
Nel caso che ti ho fatto prima,
$f(x,y) = (x-y)^2$
succede, proprio come nel tuo caso, che l'hessiano è nullo, eppure la funzione assume un valore minimo. Il fatto "anomalo" è che non assume questo valore in un punto, ma lungo una linea (hai visto il grafico su google??)
Nel tuo caso naturalmente non puoi immaginarti una funzione di 3 variabili come un "fazzoletto", quindi non posso farti "vedere" questa curva lungo la quale ci stanno i massimi/minimi.
Però vediamolo in un altro modo. I punti di massimo/minimo relativo sono caratterizzati dal fatto che su di essi il gradiente di $f$ si annulla.
Come avrai già scritto, il gradiente di $f$ è (sperando che i simboli non ti disorientino)
$\nabla f = (4 x, 8y + 4z, 2z+4y)$
affinché si annulli, deve essere verificato il seguente sistema di 3 equazioni
$\{(4x = 0),(8y +4z = 0),(4y + 2z = 0):}$
E' evidente che seconda e terza equazione dicono la stessa cosa (sono multiple l'una dell'altra). Che cosa vuol dire? Che la soluzione non è data da un punto nello spazio, bensì da una infinità di punti tali che
$\{(x = 0),(z = -2y):}$
Questa dovresti sapere che è l'equazione di una retta nello spazio 3D. Ebbene questa retta è il luogo dei punti nei quali la tua $f(x,y,z)$ raggiunge valori estremali.
$f(x,y) = (x-y)^2$
succede, proprio come nel tuo caso, che l'hessiano è nullo, eppure la funzione assume un valore minimo. Il fatto "anomalo" è che non assume questo valore in un punto, ma lungo una linea (hai visto il grafico su google??)
Nel tuo caso naturalmente non puoi immaginarti una funzione di 3 variabili come un "fazzoletto", quindi non posso farti "vedere" questa curva lungo la quale ci stanno i massimi/minimi.
Però vediamolo in un altro modo. I punti di massimo/minimo relativo sono caratterizzati dal fatto che su di essi il gradiente di $f$ si annulla.
Come avrai già scritto, il gradiente di $f$ è (sperando che i simboli non ti disorientino)
$\nabla f = (4 x, 8y + 4z, 2z+4y)$
affinché si annulli, deve essere verificato il seguente sistema di 3 equazioni
$\{(4x = 0),(8y +4z = 0),(4y + 2z = 0):}$
E' evidente che seconda e terza equazione dicono la stessa cosa (sono multiple l'una dell'altra). Che cosa vuol dire? Che la soluzione non è data da un punto nello spazio, bensì da una infinità di punti tali che
$\{(x = 0),(z = -2y):}$
Questa dovresti sapere che è l'equazione di una retta nello spazio 3D. Ebbene questa retta è il luogo dei punti nei quali la tua $f(x,y,z)$ raggiunge valori estremali.
Molto esaustivo, grazie a entrambi!
Ah, riflettendoci mi è venuta in mente un'altra osservazione.
Tieni presente che la mia risposta ti ha fatto capire cosa significa non trovare una soluzione $(x_e,y_e,z_e)$ ma una infinità continua (non numerabile) di soluzioni: nel primo caso trovi il montarozzolo (massimo relativo in un punto), il cratere (minimo relativo in un punto) o la sella (punto sella); nel secondo caso invece trovi una.. ecco, i massimi o i minimi di questa qui (http://img.archiexpo.it/images_ae/photo-g/60396-1685527.jpg) che, come vedi, stanno lungo delle linee (rette nello specifico).
Tuttavia non ho concluso dicendoti se lungo la retta
$\{(x=0),(z = -2y):}$
ci sta un massimo, un minimo o che altro
Ebbene conviene riscrivere la tua funzione in un'altra forma,
$f(x,y,x) = 2x^2 + 4y^2 + z^2 + 4yz = 2x^2 + (2y + z)^2$
cioè come la somma di due quadrati. La somma di due quadrati è minima quando le due basi sono minime, cioè quando $x=0$ e $z = -2y$, così diventa evidentemente che lungo la retta imputata, la funzione assume il suo valore minimo (che è $0$)
Tieni presente che la mia risposta ti ha fatto capire cosa significa non trovare una soluzione $(x_e,y_e,z_e)$ ma una infinità continua (non numerabile) di soluzioni: nel primo caso trovi il montarozzolo (massimo relativo in un punto), il cratere (minimo relativo in un punto) o la sella (punto sella); nel secondo caso invece trovi una.. ecco, i massimi o i minimi di questa qui (http://img.archiexpo.it/images_ae/photo-g/60396-1685527.jpg) che, come vedi, stanno lungo delle linee (rette nello specifico).
Tuttavia non ho concluso dicendoti se lungo la retta
$\{(x=0),(z = -2y):}$
ci sta un massimo, un minimo o che altro
Ebbene conviene riscrivere la tua funzione in un'altra forma,
$f(x,y,x) = 2x^2 + 4y^2 + z^2 + 4yz = 2x^2 + (2y + z)^2$
cioè come la somma di due quadrati. La somma di due quadrati è minima quando le due basi sono minime, cioè quando $x=0$ e $z = -2y$, così diventa evidentemente che lungo la retta imputata, la funzione assume il suo valore minimo (che è $0$)
Che dire... ancora più chiaro! Grazie infinitamente!
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