Funzione a piu' variabili reali
Ciao a tutti! 8)
Devo studiare questa funzione: $xy(1-x-y)$ su un dominio limitato, un triangolo di lati pari a 1.
Il modo di procedere che mi e' stato dato e' questo:
1) Studio dei punti critici interni al dominio
2) Studio dei massimi e minimi sulla frontiera
1) Ho trovato 4 punti critici, che poi sono andato a studiare con l'Hessiano trovando che:
-$(0,0)$ e' un punto di sella
-$(1,0)$ e' un punto di sella
-$(0,1)$ e' un punto di sella
-$(1/3,1/3)$ e' un punto di massimo relativo
2) Non ho ben capito cosa devo fare in questo passaggio, qualcuno me lo potrebbe spiegare? Magari utilizzando l'esempio della funzione sopra.
Grazie mille a tutti!
Devo studiare questa funzione: $xy(1-x-y)$ su un dominio limitato, un triangolo di lati pari a 1.
Il modo di procedere che mi e' stato dato e' questo:
1) Studio dei punti critici interni al dominio
2) Studio dei massimi e minimi sulla frontiera
1) Ho trovato 4 punti critici, che poi sono andato a studiare con l'Hessiano trovando che:
-$(0,0)$ e' un punto di sella
-$(1,0)$ e' un punto di sella
-$(0,1)$ e' un punto di sella
-$(1/3,1/3)$ e' un punto di massimo relativo
2) Non ho ben capito cosa devo fare in questo passaggio, qualcuno me lo potrebbe spiegare? Magari utilizzando l'esempio della funzione sopra.
Grazie mille a tutti!
Risposte
Devi restringere la $f$ sul bordo e studiare li i massimi e minimi
Ovvero devi scrivere le equazioni che definiscono i tre segmenti che delimitano il tuo dominio. Poi devi sostituire la $x$ o la $y$ nella $f$ usando di volta in volta le equazioni di prima (una alla volta) e quindi studiare il massimo e il minimo della funzione cosi' ottenuta (che sara' di 1 variabile!).
Ovvero devi scrivere le equazioni che definiscono i tre segmenti che delimitano il tuo dominio. Poi devi sostituire la $x$ o la $y$ nella $f$ usando di volta in volta le equazioni di prima (una alla volta) e quindi studiare il massimo e il minimo della funzione cosi' ottenuta (che sara' di 1 variabile!).
Allora, io ad esempio, chiamo i tre segmenti che delimitano il dominio A(base) B(ipotenusa) C(altezza) del triangolo...
Sul segmento A trovo che:
$f(x,0)=0$
Sul segmento B trovo che:
$f(0,y)=0$
E' giusto cio' che faccio? E per il segmento C come procedo, visto che variano sia x che y?
Scusa, forse non ho ancora capito
Sul segmento A trovo che:
$f(x,0)=0$
Sul segmento B trovo che:
$f(0,y)=0$
E' giusto cio' che faccio? E per il segmento C come procedo, visto che variano sia x che y?
Scusa, forse non ho ancora capito
Il problema e' che mi devi far capire quale triangolo stai considerando!
Da quello che ho capito vuoi prendere il triangolo rettangolo che abbia due lati sugli assi coordinati di lunghezza 1 e un'ipotenusa di lunghezza $\sqrt{2}$.
In questo caso il terzo lato e' l'insieme:
$ { (x,y) \in RR^2 : y = 1 - x , x \in [0,1] } $
Ovvero devi sostituire la $y$ ponendola uguale a $1-x$.
Si trova:
$f(x,1-x) = 0$
Quindi $f$ sul bordo vale sempre 0 e quindi il max e il min valgono $0$.
Altrimenti se il triangolo era un altro si tratta di ripetere questi conti per ogni lato di quel triangolo. Se $f$ ristretta su qualche lato NON e' costante devi trovare il massimo e il minimo con le tecniche di Analisi I stando attento a 2 cose:
1. Devi trovare il minimo non su tutto $RR$, ma solo nell'insieme su cui varia il parametro. (nel mio caso su $[0,1]$)
2. Siccome il parametro varia su un chiuso non valgono le ipotesi del teorema di Fermat sui punti critici: potrebbe esserci un massimo o un minimo in cui non si annulla la derivata (sul bordo dell'insieme su cui varia il parametro) quindi devi controllare a mano il valore di $f$ in quei punti.
Da quello che ho capito vuoi prendere il triangolo rettangolo che abbia due lati sugli assi coordinati di lunghezza 1 e un'ipotenusa di lunghezza $\sqrt{2}$.
In questo caso il terzo lato e' l'insieme:
$ { (x,y) \in RR^2 : y = 1 - x , x \in [0,1] } $
Ovvero devi sostituire la $y$ ponendola uguale a $1-x$.
Si trova:
$f(x,1-x) = 0$
Quindi $f$ sul bordo vale sempre 0 e quindi il max e il min valgono $0$.
Altrimenti se il triangolo era un altro si tratta di ripetere questi conti per ogni lato di quel triangolo. Se $f$ ristretta su qualche lato NON e' costante devi trovare il massimo e il minimo con le tecniche di Analisi I stando attento a 2 cose:
1. Devi trovare il minimo non su tutto $RR$, ma solo nell'insieme su cui varia il parametro. (nel mio caso su $[0,1]$)
2. Siccome il parametro varia su un chiuso non valgono le ipotesi del teorema di Fermat sui punti critici: potrebbe esserci un massimo o un minimo in cui non si annulla la derivata (sul bordo dell'insieme su cui varia il parametro) quindi devi controllare a mano il valore di $f$ in quei punti.
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