Funzione a più variabili
Ciao a tutti... 
- Discutere la natura dei punti critici della funzione $f(x,y) = 3x^2 -y^2 +3xy$ quindi determinarne estremo superiore ed inferiore sul dominio $D = {x^2 + y^2 <= 1, x >= y -1}$
Allora, per prima cosa calcolo le derivate parziali prime che sono: $(df)/dx = 6x + 3y$ e $(df)/dy = -2y +3x$ vado poi a verificare dove si annullano e trovo il punto $(0,0)$. Ora vado a studiare la natura del punto mediante l'Hessiano... calcolo quindi le derivate parziali seconde ed ottengo: $(d^2f)/dx^2 = 6$, $(d^2f)/dy^2 = -2$, $(d^2f)/(dxdy) = 3$. Il determinante è minore di 0, quindi in $(0, 0)$ ho un punto di sella.
Ora devo passare allo studio dei punti critici sulla frontiera del dominio che mi è stato dato. Il dominio è:
Quindi devo studiare i punti critici sul segmento $(-1,0)$, $(1,0)$ e $x^2 +y^2 = 1$.
Fino a qui è corretto? Se si, procedo e poi posto i risultati...
- Discutere la natura dei punti critici della funzione $f(x,y) = 3x^2 -y^2 +3xy$ quindi determinarne estremo superiore ed inferiore sul dominio $D = {x^2 + y^2 <= 1, x >= y -1}$
Allora, per prima cosa calcolo le derivate parziali prime che sono: $(df)/dx = 6x + 3y$ e $(df)/dy = -2y +3x$ vado poi a verificare dove si annullano e trovo il punto $(0,0)$. Ora vado a studiare la natura del punto mediante l'Hessiano... calcolo quindi le derivate parziali seconde ed ottengo: $(d^2f)/dx^2 = 6$, $(d^2f)/dy^2 = -2$, $(d^2f)/(dxdy) = 3$. Il determinante è minore di 0, quindi in $(0, 0)$ ho un punto di sella.
Ora devo passare allo studio dei punti critici sulla frontiera del dominio che mi è stato dato. Il dominio è:
Quindi devo studiare i punti critici sul segmento $(-1,0)$, $(1,0)$ e $x^2 +y^2 = 1$.
Fino a qui è corretto? Se si, procedo e poi posto i risultati...
Risposte
Fin qui va bene.
"enigmagame":
Ciao a tutti...
- Discutere la natura dei punti critici della funzione $f(x,y) = 3x^2 -y^2 +3xy$ quindi determinarne estremo superiore ed inferiore sul dominio $D = {x^2 + y^2 <= 1, x >= y -1}$
leggendo la domanda, a me sembra che sia richiesto lo studio dei punti critici di $f$ sul suo insieme di def "naturale", ovvero su $RR^2$
e che invece il dominio $D$ sia tirato in ballo solo per inf e sup (che poi sono min e max, per Weierstrass)
ciao
Ti mancano solo da determinare i valori di f nei punti di intersezione tra la retta e le due parti di circonferenza
Come, non devo calcolare sia sulla retta che sulla circonferenza?
Quindi sudiando il segmento ho questo, è compreso tra i punti $(-1,0)$ e $(1,0)$, stà sulla retta $x = y -1$.
Quindi i punti su quel segmento sono del tipo $(x, x+1)$, parametrizzando la y.
Ora mi calcolo $g(x) = f(x, x+1) = 5x^2 +x -1$, e calcolo il punto in cui si annulla la sua derivata $(dg)/dx = 10x + 1$ chè è $x = -1/10$.
Ora devo sostituire la x appena trovata in g(x) e anche gli estremi ottenendo:
-$g(-1/10) = -21/20$
-$g(-1) = 3$
-$g(1) = 5$
E' corretto ciò che ho fatto?
Quindi i punti su quel segmento sono del tipo $(x, x+1)$, parametrizzando la y.
Ora mi calcolo $g(x) = f(x, x+1) = 5x^2 +x -1$, e calcolo il punto in cui si annulla la sua derivata $(dg)/dx = 10x + 1$ chè è $x = -1/10$.
Ora devo sostituire la x appena trovata in g(x) e anche gli estremi ottenendo:
-$g(-1/10) = -21/20$
-$g(-1) = 3$
-$g(1) = 5$
E' corretto ciò che ho fatto?
Sì, ma non esaurisce lo studio sul bordo, c'è ancora il tratto di circonferenza.
Sisi, lo devo fare. Ora devo scappare.
Domani lo posto, cosi saprò se lo studio è corretto
Grazie mille!
Domani lo posto, cosi saprò se lo studio è corretto
Grazie mille!
Dunque dunque...
devo studiare la circonferenza $x^2 +y^2 = 1$. Parametrizzando la y, i punti sulla frontiera sono del tipo $(x, +sqrt(1-x^2))$ e $(x,-sqrt(1-x^2))$.
E' corretto? Cioè devo studiare entrambi i casi...
devo studiare la circonferenza $x^2 +y^2 = 1$. Parametrizzando la y, i punti sulla frontiera sono del tipo $(x, +sqrt(1-x^2))$ e $(x,-sqrt(1-x^2))$.
E' corretto? Cioè devo studiare entrambi i casi...
Sì, oltre ai vertici, se già non sono stati fatti.
mi sembra di essere John D. Peters. Comunque, ci riprovo...
"Ora devo passare allo studio dei punti critici sulla frontiera del dominio che mi è stato dato."
enigmagame, cosa vuol dire "studio dei punti critici sulla frontiera del dominio"?
"Ora devo passare allo studio dei punti critici sulla frontiera del dominio che mi è stato dato."
enigmagame, cosa vuol dire "studio dei punti critici sulla frontiera del dominio"?
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