Funzione a due variabili - Punti stazionari
Buonasera, mi sto dedicando ad Analisi II da poco (da stamattina, abbiate pietà se dico cavolate) e in un esercizio mi viene richiesto di trovare ed identificare i punti stazionari della funzione $ f(x,y)=x+8y+1/(xy) $
Fin qui nessun problema, ho calcolato le derivate parziali, le ho poste in sistema uguali a zero e ho trovato un unico punto stazionario, ossia $ (2,1/4) $.
Il problema arriva ora: il determinante della matrice Hessiana in tale punto è nullo (per mia gioia e gaudio) e a questo punto ho provato prima a dimostrare che fosse un punto di sella con il metodo delle rette, senza arrivare da nessuna parte, poi ad utilizzare il metodo del segno, senza però riuscire a concludere.
Guardando le soluzioni e il grafico si scopre che tale punto è di minimo relativo. Ma non riesco a dimostrarlo.
Suppongo che utilizzare il metodo del segno sia la via più sicura (se ce n'è un'altra più semplice spero qualcuno me la spieghi) per cui ho ragionato nella seguente maniera: ho considerato la funzione per $ x>0 $ e $ y>0 $ visto che la funzione lungo $ x=0 $ e $ y=0 $ tende a $ +- oo $ (e in particolare avvicinandosi agli assi con le condizioni poste sopra tende a $ +oo $) e in quanto il punto si trova in questa regione; tutto ciò per dimostrare che il punto sia un minimo assoluto per questa limitazione della funzione.
Ho allora posto $ f(x,y)>=f(2,1/4) $ (con $ f(2,1/4)=6 $), ho portato il 6 a sinistra, ho raccolto a denominatore $ xy $ e poi l'ho eliminato (cosa che posso fare, viste le condizioni sopra poste) rimanendo con $ x^2y+8xy^2-6xy+1>=0 $ che raccogliendo semplifico in $ xy(x+y-6)+1>=0 $.
Così intuitivamente a me sembra proprio che sia sempre verificata, ma il problema è che non riesco a dimostrarlo analiticamente.
Spero di essere stato abbastanza chiaro su quale sia il problema (e spero anche di non aver fatto errori particolari).
Qualcuno sa darmi una mano?
Fin qui nessun problema, ho calcolato le derivate parziali, le ho poste in sistema uguali a zero e ho trovato un unico punto stazionario, ossia $ (2,1/4) $.
Il problema arriva ora: il determinante della matrice Hessiana in tale punto è nullo (per mia gioia e gaudio) e a questo punto ho provato prima a dimostrare che fosse un punto di sella con il metodo delle rette, senza arrivare da nessuna parte, poi ad utilizzare il metodo del segno, senza però riuscire a concludere.
Guardando le soluzioni e il grafico si scopre che tale punto è di minimo relativo. Ma non riesco a dimostrarlo.
Suppongo che utilizzare il metodo del segno sia la via più sicura (se ce n'è un'altra più semplice spero qualcuno me la spieghi) per cui ho ragionato nella seguente maniera: ho considerato la funzione per $ x>0 $ e $ y>0 $ visto che la funzione lungo $ x=0 $ e $ y=0 $ tende a $ +- oo $ (e in particolare avvicinandosi agli assi con le condizioni poste sopra tende a $ +oo $) e in quanto il punto si trova in questa regione; tutto ciò per dimostrare che il punto sia un minimo assoluto per questa limitazione della funzione.
Ho allora posto $ f(x,y)>=f(2,1/4) $ (con $ f(2,1/4)=6 $), ho portato il 6 a sinistra, ho raccolto a denominatore $ xy $ e poi l'ho eliminato (cosa che posso fare, viste le condizioni sopra poste) rimanendo con $ x^2y+8xy^2-6xy+1>=0 $ che raccogliendo semplifico in $ xy(x+y-6)+1>=0 $.
Così intuitivamente a me sembra proprio che sia sempre verificata, ma il problema è che non riesco a dimostrarlo analiticamente.
Spero di essere stato abbastanza chiaro su quale sia il problema (e spero anche di non aver fatto errori particolari).
Qualcuno sa darmi una mano?
Risposte
Ciao,hai sbagliato a calcolare la matrice hessiana. Svolgendo l'esercizio mi risulta che il punto sia di minimo dato che traccia e determinante sono entrambi $>0$. Senza impazzire con tutti i metodi che hai provato.
Ahi ahi, hai ragione, nel fare le derivate parziali di secondo ordine ho tralasciato il 2 dei termini alla seconda a denominatore 
Grazie per avermi ricordato con due righe che ricontrollare i conti non fa mai male, me ne sarei accorto dopo delle ore altrimenti!
Grazie per avermi ricordato con due righe che ricontrollare i conti non fa mai male, me ne sarei accorto dopo delle ore altrimenti!
Figurati. Guarda se hai bisogno io ho posto altre domande di analisi 2 sul forum perchè la sto studiando anche io.
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