Funzione a due variabili criticità in (x,0)

[cristian.vitali.102]

ciao a tutti, svolgendo questo esercizio arrivo ad un punto dove non riesco ad andare avanti.
devo trovare gli eventuali max/min della funzione:

$f(x,y)=x^2y^2+4ln(1-y^2)$

come al solito calcolo le derivate parziali e le pongo $=0$

$\{(2xy^2=0),(2x^2y+(8y)/(y^2-1)=0):}$

il punto che risolve il sistema è $P=(x,0)$

calcolo l hessiano:

$f'_(x,x)=2y^2$
$f'_(y,y)=2x^2+8(y^2+1)/(y^2-1)^2$
$f'_(x,y)=f'_(y,x)=4xy$

che risulta nullo per $(x,0)$

ora osservo che la funzione di partenza esiste solo nell intervallo delle y [-1,1];

Ho provato studiando il segno della funzione: $x^2y^2+4ln(1-y^2)>0 -> x^2y^2>-4ln(1-y^2)$
ma non so andare avanti, non credo sia questa la strada giusta.

[billyballo2123]

Hai sbagliato la derivata parziale rispetto a $y$ ma presumo sia un errore di battitura perché poi nella derivata seconda i conti tornano.

Comunque per ogni $x$ fissata, se facciamo tendere a $0$ la $y$ (cioè ci avviciniamo al punto $(x,0)$), scopriamo che la funzione è approssimabile (mediante asintotico/sviluppo di Taylor) a $x^2y^2-4y^2=y^2(x^2-4)$. A te le conclusioni!!