Funzione a due variabili!!!
Salve, ho questa funzione :
${ ( x^2 sen (y/x) per x!=0 ) , ( 0 per x=0):}$
e devo studiarne la continuità,la derivabilità e differenziabilità.
Per la continuità ho notato che la funzione è continua facendo $lim_((x,y) -> (0,y)) f(x,y)=0$ ,se invece considero (x,0) si vede subito che è continua.
Per la derivabilità ho considerato la derivata parziale lungo x ed ho visto che è continua in (0,0) ma non in (0,y).
Poi non so cosa fare....sono alle prime armi con le funzioni a due variabili e gli esercizi svolti fino ad ora volevano lo studio di funzioni definite per $(x,y)!=(0,0)$ e per $(x,y)=(0,0)$;ma ,essendo questa funzione definita per casi particolari solo della x,non so bene come procedere.
Grazie in anticipo
${ ( x^2 sen (y/x) per x!=0 ) , ( 0 per x=0):}$
e devo studiarne la continuità,la derivabilità e differenziabilità.
Per la continuità ho notato che la funzione è continua facendo $lim_((x,y) -> (0,y)) f(x,y)=0$ ,se invece considero (x,0) si vede subito che è continua.
Per la derivabilità ho considerato la derivata parziale lungo x ed ho visto che è continua in (0,0) ma non in (0,y).
Poi non so cosa fare....sono alle prime armi con le funzioni a due variabili e gli esercizi svolti fino ad ora volevano lo studio di funzioni definite per $(x,y)!=(0,0)$ e per $(x,y)=(0,0)$;ma ,essendo questa funzione definita per casi particolari solo della x,non so bene come procedere.
Grazie in anticipo
Risposte
nessun suggerimento ? 
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chiedo perdono!Non sapevo !
Io per calcolare la derivabilità studierei le derivate parziali(farei uno studio simili a quello del dominio della funzione).Se ho fatto bene i calcoli nella derivata prima rispetto ad $x$,mi compare un $ln(x)$,quindi per essere derivabile deve essere $x>0$.Inoltre la funzione risulta sempre continua,quindi dovrebbe essere sempre differenziabile....
Non sono sicurissimo di quello che ho scritto,spero che qualcuno più esperto di me possa corregere eventuali errori.
Non sono sicurissimo di quello che ho scritto,spero che qualcuno più esperto di me possa corregere eventuali errori.
mmmm...non riesco a capire perché ti viene $ln(x)$...
Per la derivabilità considera il rapporto incrementale a partire da tutti i punti dell'asse $y$, che è questo qua:
$lim_(t->0) (f((0,y_0)+tul(v))-f(0,y_0))/t=lim_(t->0) a^2 t^2 (sen((y_0+bt)/(at))) / t = lim_(t->0) a^2 t sen(y_0/(at)) = 0$ per ogni $y_0$, ho indicato il versore $ul(v)=(a,b)$. Quindi come vedi è derivabile in ogni direzione e lo puoi verificare facilmente con la definizione.
E hai anche scoperto che $grad(f)(0,y_0)=(0,0)$, quindi per la differenziabilità controlli che $lim_((x,y)->(0,0))[ f(x,y_0+y)-f(0,y_0)- grad f(0,y_0)*(x,y)]/sqrt( x^2 + y^2)=lim_((x,y)->(0,0)) x^2 (sen((y_0+y)/x)) /sqrt(x^2+y^2) $ sia nullo.
Prova a verificarlo.
$lim_(t->0) (f((0,y_0)+tul(v))-f(0,y_0))/t=lim_(t->0) a^2 t^2 (sen((y_0+bt)/(at))) / t = lim_(t->0) a^2 t sen(y_0/(at)) = 0$ per ogni $y_0$, ho indicato il versore $ul(v)=(a,b)$. Quindi come vedi è derivabile in ogni direzione e lo puoi verificare facilmente con la definizione.
E hai anche scoperto che $grad(f)(0,y_0)=(0,0)$, quindi per la differenziabilità controlli che $lim_((x,y)->(0,0))[ f(x,y_0+y)-f(0,y_0)- grad f(0,y_0)*(x,y)]/sqrt( x^2 + y^2)=lim_((x,y)->(0,0)) x^2 (sen((y_0+y)/x)) /sqrt(x^2+y^2) $ sia nullo.
Prova a verificarlo.
Grazie mille per la spiegazione 
...scusate l'intromissione, si capito che è continua perchè sia facendo il limite della funzione per $(x,y)->(x,0)$ che facendolo per $(x,y)->(0,y)$ viene 0, e quindi anche il limite per $(x,y)->(0,0)$ viene 0?
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