Funzione a due variabili
salve a tutti ho questa funzione:
$f(x,y)=\{(1),(0):}$
La prima è definita se $xy!=0$ la seconda se $xy=0$.
Mi si chiede di verificare se è continua nei punti: $(0,0); (0,1); (1,1)$ e verificare l'esistenza di derivate parziali in tali punti!!
Posto qui il mio ragionamento e vi chiedo di verificare se sia corretto o meno.
Continuità:
in $(0,0)$: $|f(x,y)-f(0,0)|= |f(x,y)-0|= |1-0|=1$;
in $(0,1)$: $|f(x,y)-f(0,1)|=|f(x,y)-0|=|f(x,y)|=|1-0|=1$
in $(1,1)$:$|f(x,y)-f(1,1)|=|1-1|=0$
Derivate parziali:
in $(0,0)$: Congelo $y=0$ e pongo $x=t$; $f(x,0)=1$
$lim_(t -> 0) (f(t,0)-f(0,0))/(t-0)=(f(t,0))/t=0/t=0$.
$\frac{}{\partial y}\partial f(0,0)=0$.
In $(0,1)$ è la stessa cosa.
In $(1,1)$: $y=1$, $x=t$; $f(x,1)=1$
$lim_(t -> 0) (f(t,1)-f(1,1))/(t-1)=(f(t,1)-1)/(t-1)=(1-1)/(t-1)=0$
$\frac{}{\partial y}\partial f(1,1)=0$.
Grazie in anticipo!!
$f(x,y)=\{(1),(0):}$
La prima è definita se $xy!=0$ la seconda se $xy=0$.
Mi si chiede di verificare se è continua nei punti: $(0,0); (0,1); (1,1)$ e verificare l'esistenza di derivate parziali in tali punti!!
Posto qui il mio ragionamento e vi chiedo di verificare se sia corretto o meno.
Continuità:
in $(0,0)$: $|f(x,y)-f(0,0)|= |f(x,y)-0|= |1-0|=1$;
in $(0,1)$: $|f(x,y)-f(0,1)|=|f(x,y)-0|=|f(x,y)|=|1-0|=1$
in $(1,1)$:$|f(x,y)-f(1,1)|=|1-1|=0$
Derivate parziali:
in $(0,0)$: Congelo $y=0$ e pongo $x=t$; $f(x,0)=1$
$lim_(t -> 0) (f(t,0)-f(0,0))/(t-0)=(f(t,0))/t=0/t=0$.
$\frac{}{\partial y}\partial f(0,0)=0$.
In $(0,1)$ è la stessa cosa.
In $(1,1)$: $y=1$, $x=t$; $f(x,1)=1$
$lim_(t -> 0) (f(t,1)-f(1,1))/(t-1)=(f(t,1)-1)/(t-1)=(1-1)/(t-1)=0$
$\frac{}{\partial y}\partial f(1,1)=0$.
Grazie in anticipo!!
Risposte
devo aver scritto tantissime bagianate per non meritare neanke una risp XD!!!
se interpreto bene l'esercizio i risultati sembrano corretti, tra quei punti la funzione risulta continua solo in $(1,1)$ ma le derivate parziali esistono sempre e sono uguali a $0$, forse però c'è qualcosa di sbagliato nei passaggi...
ah grazie mille walter quindi sono giusti?! 
Senti walter potresti spiegarmi meglio?? cioè tipo perchè per essere continua la funzione in un punto deve risultare uguale a $0$?? e perchè risulta continua solo in $(1,1)$??
Senti walter potresti spiegarmi meglio?? cioè tipo perchè per essere continua la funzione in un punto deve risultare uguale a $0$?? e perchè risulta continua solo in $(1,1)$??
"paolotesla91":
devo aver scritto tantissime bagianate per non meritare neanke una risp XD!!!
[mod="Fioravante Patrone"]Ti faccio notare che con quel post hai violato il regolamento del forum.[/mod]
mi scuso Fioravante!! non era mia intenzione violare il regolamento!!
Non riesco bene a capire cosa hai fatto, prova a spiegarmi cosa hai fatto così ti dico se il ragionamento è giusto.
allora ho calcolato la continuità della funzione nei vari punti e poi ho calcolato le derivate parziali seguendo un esempio che il mio prof ha mostrato a lezione(l'esempio è diverso perchè lì ci ha dato una funzione del tipo: $f(x,y,z)=\{((sen(xyz))/(x^2+z^2)),(0):}$ mentre io ho solo $f(x,y)=\{(1),(0):}$ )e volevo sapere se i passaggi sono giusti!!
"paolotesla91":
Continuità:
in $(0,0)$: $|f(x,y)-f(0,0)|= |f(x,y)-0|= |(0,0)|=1$;
in $(0,1)$: $|f(x,y)-f(0,1)|=|f(x,y)-0|=|f(x,y)|=|(0,0)|=1$
in $(1,1)$:$|f(x,y)-f(1,1)|=|1-1|=0$
e ma io non li ho capiti bene questi passaggi. Parti comprendendo come è fatta la funzione: vale zero sugli assi; altrove.
Quindi parti dalla definizione di continuità (lim (x-->x_0) f(x)=f(x_0)); poi cosa hai fatto
tornando all'altro esercizio devi trovare i tre delta in corrispondenza dei tre punti.
ecco daje ho corretto.. vedi sopra.
in (0,0) (vale lo stesso in (0,1)) esiste un $epsilon>0$ (ad esempio uguale ad 1/2) tale che non riusciamo a trovare il delta ovvero per ogni $delta>0$ esiste un punto (ad esempio $(x,y)=(delta/10,delta/10)$) tale che:
il punto è nel dominio,
la distanza tra (0,0) e x è $sqrt(delta^2/100+delta^2/100)=delta sqrt(1/50)\ <\ delta$ e quindi il punto è nella palla;
x diverso da (0,0)
tale che
$|f(0,0)-f(x,y)|=1>=1/2$
Questa è la negazione della continuità.
Al contrario per (1,1) il delta lo trovi e come (se ci pensi devi fare la continuità locale ovvero intorno ad un punto e la funzione in un intorno sufficientemente piccolo di (1,1) è costante)
Per le derivate parziali: (1,1) la funzione è costante in un suo intorno quindi...
Prendi (0,0) considera la funzione della sola variabile x con y=0 congelata,
ovvero $g(x)=f(x,0)$ questa funzione è costantemente uguale a 0, quindi...
lo stesso per la derivata parziale in y.
Applica lo stesso in (0,1)
P.S. il tuo prof non ha scelto punti a caso ma punti per farti vedere cosa può succedere.
il punto è nel dominio,
la distanza tra (0,0) e x è $sqrt(delta^2/100+delta^2/100)=delta sqrt(1/50)\ <\ delta$ e quindi il punto è nella palla;
x diverso da (0,0)
tale che
$|f(0,0)-f(x,y)|=1>=1/2$
Questa è la negazione della continuità.
Al contrario per (1,1) il delta lo trovi e come (se ci pensi devi fare la continuità locale ovvero intorno ad un punto e la funzione in un intorno sufficientemente piccolo di (1,1) è costante)
Per le derivate parziali: (1,1) la funzione è costante in un suo intorno quindi...
Prendi (0,0) considera la funzione della sola variabile x con y=0 congelata,
ovvero $g(x)=f(x,0)$ questa funzione è costantemente uguale a 0, quindi...
lo stesso per la derivata parziale in y.
Applica lo stesso in (0,1)
P.S. il tuo prof non ha scelto punti a caso ma punti per farti vedere cosa può succedere.
il punto è nel dominio,
la distanza tra (0,0) e x è $sqrt(delta^2/100+delta^2/100)=delta sqrt(1/50)\ <\ delta$ e quindi il punto è nella palla;
Questo passaggio non mi è chiaro!! cioè io posso fissare $(x,y)$ a piacere mio? e poi devo dedurre che siccome il punto è nella palla allora è continua?
Per le derivate parziali ci sono, ho fatto la stessa identica cosa solo che non so interpretare i risultati!! nel senso che: in $(0,1)$ ho la funzione costante $0$ quindi devo dedurre che non è derivabile?
la distanza tra (0,0) e x è $sqrt(delta^2/100+delta^2/100)=delta sqrt(1/50)\ <\ delta$ e quindi il punto è nella palla;
Questo passaggio non mi è chiaro!! cioè io posso fissare $(x,y)$ a piacere mio? e poi devo dedurre che siccome il punto è nella palla allora è continua?
Per le derivate parziali ci sono, ho fatto la stessa identica cosa solo che non so interpretare i risultati!! nel senso che: in $(0,1)$ ho la funzione costante $0$ quindi devo dedurre che non è derivabile?
vi prego di chiarire un pò i concetti perchè altrimenti vado nel pallone perfavore! 
allora daje io ho che:
in $(0,0)$: $|f(x,y)-f(0,0)|=|f(x,y)|<\epsilon$
$||(x,y)-(0,0)||=||(x,y)||<\delta$ a questo punto il prof poneva:
$|f(x,y)-f(0,0)|<=||(x,y)-(0,0)||$ quindi: $\delta=\epsilon$ ed aveva che: $|f(x,y)-f(0,0)|<=||(x,y)-(0,0)||<\delta=\epsilon$
da ciò concludeva che la funzione era continua nel punto. In questo caso tu dici che non è cosi perchè:
$|f(x,y)-f(0,0)|=|1-0|=1<\epsilon$ giusto?
e quindi:
$|| (x,y)-(0,0) ||<\delta$ $=>$ $|f(x,y)-f(0,0)|<\epsilon$
$||(x,y)||<\delta$ $=>$ $|1|<\epsilon$ (ho che $\epsilon$ deve essere maggiore di 1 ma il delta non riesco a trovarlo. Devo fissare io punti?? se si con quel criterio?)
Per quanto riguarda le derivate parziali ci sono: esistono tutte e sono uguali a $0$. Giusto?
P.S. ho problemi con le formule! per sicurezza passaci col mouse... XD
in $(0,0)$: $|f(x,y)-f(0,0)|=|f(x,y)|<\epsilon$
$||(x,y)-(0,0)||=||(x,y)||<\delta$ a questo punto il prof poneva:
$|f(x,y)-f(0,0)|<=||(x,y)-(0,0)||$ quindi: $\delta=\epsilon$ ed aveva che: $|f(x,y)-f(0,0)|<=||(x,y)-(0,0)||<\delta=\epsilon$
da ciò concludeva che la funzione era continua nel punto. In questo caso tu dici che non è cosi perchè:
$|f(x,y)-f(0,0)|=|1-0|=1<\epsilon$ giusto?
e quindi:
$|| (x,y)-(0,0) ||<\delta$ $=>$ $|f(x,y)-f(0,0)|<\epsilon$
$||(x,y)||<\delta$ $=>$ $|1|<\epsilon$ (ho che $\epsilon$ deve essere maggiore di 1 ma il delta non riesco a trovarlo. Devo fissare io punti?? se si con quel criterio?)
Per quanto riguarda le derivate parziali ci sono: esistono tutte e sono uguali a $0$. Giusto?
P.S. ho problemi con le formule! per sicurezza passaci col mouse... XD
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