Funzione a 2 variabili, lavoro
F(x,y)= $sqrt(y)/(2*sqrt(x)+2*sqrt(x)*x*y)$i1 + $sqrt(x)/(2*sqrt(y)+2*sqrt(y)*x*y)$i2
dato il campo di forze piano e posizionale determinare il dominio, stabilire se è conservativo e in tal caso determinarne il potenziale, e calcolare il lavoro lungo il segmento di estremi p =(1,1) e Q = (3,1)
ragazzi chi mi dà una mano con questo problema??
le derivate agli incroci me le ritrovo non uguali , è giusto??
come dominio mi ritrovo , il semipiano positivo, con l' asse x, l'asse y e la retta di equazione y = - 1/x non compreso, unito al semipiano positivo, con l' asse x, l'asse y e la retta di equazione x = - 1/y non compreso. giusto??
vi ringrazio
dato il campo di forze piano e posizionale determinare il dominio, stabilire se è conservativo e in tal caso determinarne il potenziale, e calcolare il lavoro lungo il segmento di estremi p =(1,1) e Q = (3,1)
ragazzi chi mi dà una mano con questo problema??
le derivate agli incroci me le ritrovo non uguali , è giusto??
come dominio mi ritrovo , il semipiano positivo, con l' asse x, l'asse y e la retta di equazione y = - 1/x non compreso, unito al semipiano positivo, con l' asse x, l'asse y e la retta di equazione x = - 1/y non compreso. giusto??
vi ringrazio
Risposte
"jograss":
F(x,y)= $sqrt(y)/(2*sqrt(x)+2*sqrt(x)*x*y)$i1 + $sqrt(x)/(2*sqrt(y)+2*sqrt(y)*x*y)$i2
dato il campo di forze piano e posizionale determinare il dominio, stabilire se è conservativo e in tal caso determinarne il potenziale, e calcolare il lavoro lungo il segmento di estremi p =(1,1) e Q = (3,1)
ragazzi chi mi dà una mano con questo problema??
le derivate agli incroci me le ritrovo non uguali , è giusto??
come dominio mi ritrovo , il semipiano positivo, con l' asse x, l'asse y e la retta di equazione y = - 1/x non compreso, unito al semipiano positivo, con l' asse x, l'asse y e la retta di equazione x = - 1/y non compreso. giusto??
vi ringrazio
A quali incroci? e se $y=-1/x$ è l'equazione di una retta, $y=mx+q$ cosa diavolo è?
la derivata di y in i1 e quella di x in i2
y =-1/x una curva?????
y =-1/x una curva?????
Allora, le derivate agli incroci come le chiami tu, sono le derivate prime delle due funzioni, fatte rispetto a $x$ per la seconda componente e a $y$ per la prima componente!
La funzione $y=-1/x$ è una IPERBOLE! Mai sentito parlare?
La funzione $y=-1/x$ è una IPERBOLE! Mai sentito parlare?
hai ragione .... che vergogna.
graficamente una iperbole mi usciva solo l' ho nominata curva..., il dominio quindi dovrebbe essere il semipiano positivo assi x e y non compresi???
graficamente una iperbole mi usciva solo l' ho nominata curva..., il dominio quindi dovrebbe essere il semipiano positivo assi x e y non compresi???
Il dominio è
$D={(x,y)\in RR^2\ : \ x>0,\ y>0,\ y\ne -1/x}$
Il resto? Come vengono le derivate?
$D={(x,y)\in RR^2\ : \ x>0,\ y>0,\ y\ne -1/x}$
Il resto? Come vengono le derivate?
le derivate agli incroci mi trovo:
$(delFx)/(dely) = (sqrt(x)/sqrt(y)*(1+xy)-2xsqrt(x))/(2sqrt(x)*(1+xy))^2$
$(delFy)/(delx) = (sqrt(y)/sqrt(x)*(1+xy)-2ysqrt(y))/(2sqrt(y)*(1+xy))^2$
sono giuste???
grazie
$(delFx)/(dely) = (sqrt(x)/sqrt(y)*(1+xy)-2xsqrt(x))/(2sqrt(x)*(1+xy))^2$
$(delFy)/(delx) = (sqrt(y)/sqrt(x)*(1+xy)-2ysqrt(y))/(2sqrt(y)*(1+xy))^2$
sono giuste???
grazie
No, le derivate sono
$\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{{\sqrt{x}}/{\sqrt{y}}(1+xy)-2x\sqrt{x}\sqrt{y}}{4x(1+xy)^2}=\frac{\sqrt{x}(1+xy-2xy)}{4x\sqrt{y}(1+xy)^2}=\frac{(1-xy)}{4\sqrt{x}\sqrt{y}(1+xy)^2}$
e l'altra è uguale.
$\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{{\sqrt{x}}/{\sqrt{y}}(1+xy)-2x\sqrt{x}\sqrt{y}}{4x(1+xy)^2}=\frac{\sqrt{x}(1+xy-2xy)}{4x\sqrt{y}(1+xy)^2}=\frac{(1-xy)}{4\sqrt{x}\sqrt{y}(1+xy)^2}$
e l'altra è uguale.
è vero che stupido, ho saltato $sqrt(Y)$
grazie
grazie
per semplificare hai moltiplicato numeratore e denominatore per $sqrt(x)sqrt(y)$ ??
al numeratore non dovrebbe rimanere solo $(1-x)$
al numeratore non dovrebbe rimanere solo $(1-x)$
No, resta 1-xy. Ricontrolla!
si si ho sbagliato a scrivere mi rimane 1-xy,
quindi a quella che hai postato tu al numeratore ti è sfuggita $sqrt(x)$
grazie veramente
quindi a quella che hai postato tu al numeratore ti è sfuggita $sqrt(x)$
grazie veramente
L'ho modificata! Adesso torna!
adesso per calcolare il lavoro lungo il segmento pq :
dL= $\vecv$*dp dp=dxi1 +dyi2+dzi3
dL= $sqrt(y)/(2*sqrt(x)+2*sqrt(x)*x*y)$dx + $sqrt(x)/(2*sqrt(y)+2*sqrt(y)*x*y)$dy
facendo il cambiamento di variabile ottengo dx= 2dt e dy=0 e estremi di integrazione 0 ed 1 , l' integrale da risolvere mi viene:
L= $\int_0^1(2/sqrt(1+2t)+1/(tsqrt(1+2t))+2sqrt(1+2t)+sqrt(1+2t)/(2t))dx$
integrale che faccio fatica a risolvere ...... mi date una mano per favore
grazie
dL= $\vecv$*dp dp=dxi1 +dyi2+dzi3
dL= $sqrt(y)/(2*sqrt(x)+2*sqrt(x)*x*y)$dx + $sqrt(x)/(2*sqrt(y)+2*sqrt(y)*x*y)$dy
facendo il cambiamento di variabile ottengo dx= 2dt e dy=0 e estremi di integrazione 0 ed 1 , l' integrale da risolvere mi viene:
L= $\int_0^1(2/sqrt(1+2t)+1/(tsqrt(1+2t))+2sqrt(1+2t)+sqrt(1+2t)/(2t))dx$
integrale che faccio fatica a risolvere ...... mi date una mano per favore
grazie
Mi spieghi perché ti complichi la vita? Se hai appena detto che $(Fx)_y=(Fy)_x$ questo vuol dire che esiste $f$ tale che $df=Fx\ i+Fy\ j$, no? Allora ti basta integrare una delle due componenti rispetto alla variabile della componente associata per determinare $f$. In pratica puoi fare
$f(x,y)=\int Fx\ dx+g(y)=A(x,y)+g(y)$ oppure $f(x,y)=\int Fy\ dy+h(x)=B(x,y)+h(x)$
e per determinare la forma di $g$ o $h$, a seconda di quale delle due formule hai usato prima, calcolare l'altra derivata e imporre l'uguaglianza, e cioè fare una delle due cose seguenti
$Fy=f_y=A_y+g'$ oppure $Fx=f_x=B_x+h'$
e risolvere una delle due equazioni differenziali del primo ordine rispetto a $g$ o $h$. A questo punto, una volta che hai scritto $f(x,y)$ per calcolare il lavoro ti basta fare
$L=f(Q)-f(P)$
sostituendo al posto di $x$ e $y$ le coordinate dei punti!
P.S.: faccio solo una osservazione, dal punto di vista del docente universitario. Ma quelle due formulette del cavolo di Teoria che si fanno su questa roba le hai almeno guardate? Non prenderla come una offesa (non lo è) ma mi pare che stai procedendo un tantinello alla cieca e che, sostanzialmente, tu non abbia capito l'essenza di questo esercizio. Se hai bisogno, fammi sapere.
$f(x,y)=\int Fx\ dx+g(y)=A(x,y)+g(y)$ oppure $f(x,y)=\int Fy\ dy+h(x)=B(x,y)+h(x)$
e per determinare la forma di $g$ o $h$, a seconda di quale delle due formule hai usato prima, calcolare l'altra derivata e imporre l'uguaglianza, e cioè fare una delle due cose seguenti
$Fy=f_y=A_y+g'$ oppure $Fx=f_x=B_x+h'$
e risolvere una delle due equazioni differenziali del primo ordine rispetto a $g$ o $h$. A questo punto, una volta che hai scritto $f(x,y)$ per calcolare il lavoro ti basta fare
$L=f(Q)-f(P)$
sostituendo al posto di $x$ e $y$ le coordinate dei punti!
P.S.: faccio solo una osservazione, dal punto di vista del docente universitario. Ma quelle due formulette del cavolo di Teoria che si fanno su questa roba le hai almeno guardate? Non prenderla come una offesa (non lo è) ma mi pare che stai procedendo un tantinello alla cieca e che, sostanzialmente, tu non abbia capito l'essenza di questo esercizio. Se hai bisogno, fammi sapere.
ma ho difficolta anche con l' integrale di fx in dx
Allora, vediamo di dare una conclusione a questo esercizio: essendo $Fx=\sqrt{y}/{2\sqrt{x}(1+xy)}$ dobbiamo calcolare
$f(x,y)=\int\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}(1+xy)}\ dx+g(y)$.
Posto $\sqrt{x}=t$ otteniamo $x=t^2$ da cui $dx=2t\ dt$ e quindi
$\int\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}(1+xy)}\ dx=\int\frac{2t\sqrt{y}}{2t(1+yt^2)}\ dt=\int\frac{\sqrt{y}}{1+(\sqrt{y} t)^2}\ dt=\arctan(\sqrt{y} t)$
da cui
$f(x,y)=\arctan(\sqrt{xy})+g(y)$.
Se adesso derivi rispetto ad $y$ ottieni
$Fy=f_y=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}(1+xy)}+g'(y)$
da cui segue $g'(y)=0$ e quindi $g=cost$.
A questo punto l'integrale che vuoi calcolare risulta
$\int_P^Q \omega=f(Q)-f(P)=\arctan(\sqrt{3})-\arctan(0)=\pi/6$
che è il risultato cercato.
$f(x,y)=\int\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}(1+xy)}\ dx+g(y)$.
Posto $\sqrt{x}=t$ otteniamo $x=t^2$ da cui $dx=2t\ dt$ e quindi
$\int\frac{\sqrt{y}}{2\sqrt{x}(1+xy)}\ dx=\int\frac{2t\sqrt{y}}{2t(1+yt^2)}\ dt=\int\frac{\sqrt{y}}{1+(\sqrt{y} t)^2}\ dt=\arctan(\sqrt{y} t)$
da cui
$f(x,y)=\arctan(\sqrt{xy})+g(y)$.
Se adesso derivi rispetto ad $y$ ottieni
$Fy=f_y=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{y}(1+xy)}+g'(y)$
da cui segue $g'(y)=0$ e quindi $g=cost$.
A questo punto l'integrale che vuoi calcolare risulta
$\int_P^Q \omega=f(Q)-f(P)=\arctan(\sqrt{3})-\arctan(0)=\pi/6$
che è il risultato cercato.
"ciampax":
Il dominio è $D={(x,y)\in RR^2\ : \ x>0,\ y>0,\ y\ne -1/x}$
Vorrei fare una osservazione: se x e y sono entrambi positivi, non è già implicito che $y!= -1/x$ visto che, per la positività di x, $-1/x$ è un numero negativo?
Confesso che non so risolvere l'esercizio, ma il dominio mi sembra con condizioni sovrabbondanti. Non basta $D={(x,y)\in RR^2\ : \ x>0,\ y>0}$?
"@melia":
[quote="ciampax"]Il dominio è $D={(x,y)\in RR^2\ : \ x>0,\ y>0,\ y\ne -1/x}$
Vorrei fare una osservazione: se x e y sono entrambi positivi, non è già implicito che $y!= -1/x$ visto che, per la positività di x, $-1/x$ è un numero negativo?
Confesso che non so risolvere l'esercizio, ma il dominio mi sembra con condizioni sovrabbondanti. Non basta $D={(x,y)\in RR^2\ : \ x>0,\ y>0}$?[/quote]
Sì @melia, il dominio corretto è quello che dici tu, anche perché l'iperbole in questione non ha un ramo nel primo quadrante.
grazie tante
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