Funzione a 2 variabili
allora ho il seguente esercizio: discutere la natura dei punti critici della funzione $f(x,y)=x^2+2xy+y^2$, quindi determinare estremo superiore e inferiore sul dominio determinato dagli assi coordinati e dalla circonferenza di centro (1,1) e raggio unitario.
Bene mi son calcolato il punto in cui si annulla il gradiente, il punto è (0,0) ed è un punto di minimo relativo (il det dell'hessiana è 0 ma studiando su un intorno del punto noto che è di minimo)
Poi passo allo studio sulla frontiera...tutto bene sul lato (x,0) con $0<=x<=1$ e sul lato (0,y) con $0<=y<=1$ il problema mi sorge quando devo studiare sulla parte della circonferenza.
Io ho fatto cosi: considero $f(x,1-sqrt(2x-x^2))=g(x)$ in quanto è quella li la parte di circonferenza che mi interessa...ora dovrei solo guardare dove si annulla la derivata prima di g(x) ma i calcoli mi diventano impossibili...vi chiedo gentilmente se è giusto come sto procedendo e quindi insistere sulla derivata o c'è un modo per semplificare i calcoli...
grazie anticipatamente
Bene mi son calcolato il punto in cui si annulla il gradiente, il punto è (0,0) ed è un punto di minimo relativo (il det dell'hessiana è 0 ma studiando su un intorno del punto noto che è di minimo)
Poi passo allo studio sulla frontiera...tutto bene sul lato (x,0) con $0<=x<=1$ e sul lato (0,y) con $0<=y<=1$ il problema mi sorge quando devo studiare sulla parte della circonferenza.
Io ho fatto cosi: considero $f(x,1-sqrt(2x-x^2))=g(x)$ in quanto è quella li la parte di circonferenza che mi interessa...ora dovrei solo guardare dove si annulla la derivata prima di g(x) ma i calcoli mi diventano impossibili...vi chiedo gentilmente se è giusto come sto procedendo e quindi insistere sulla derivata o c'è un modo per semplificare i calcoli...
grazie anticipatamente
Risposte
Prova a parametrizzare la circonferenza, invece di sostituire la sua espressione cartesiana, per esempio con le funzioni seno e coseno.
parametrizzando la mia circonferenza $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ diventa $(costheta-1)^2+(sentheta-1)^2=1$ e svolgendo i calcoli semplifico a $costheta+sentheta=1$ se non ho fatto stupidi errori...e ora che devo fare? scusami ma ho un po di confusione
L'equazione di una circonferenza ha questa forma parametrica:
${(x=rcos\theta),(y=r\sin\theta):}$
${(x=rcos\theta),(y=r\sin\theta):}$
"cavallipurosangue":
L'equazione di una circonferenza ha questa forma parametrica:
${(x=rcos\theta),(y=r\sin\theta):}$
Già, e in questo caso:
${(x-x_0=rcos\theta),(y-y_0=r\sin\theta):}$
${(x-1=cos\theta),(y-1=\sin\theta):}$
${(x=1+cos\theta),(y=1+\sin\theta):}$
Consideriamo un triangono rettangolo [quello cui si applica il teorema di Pitagora per intenderci...] avente l'ipotenusa di lunghezza $1$. In tal caso i due cateti avranno lunghezza pari a $sin theta$ e $cos theta$. E' noto dalla geometria elementare che in ogni triangolo ogni lato è minore [o al più uguale nel caso degenere in cui il triangolo si riduce ad un segmento...] della somma degli altri due. Nel nostro caso è
$sin theta + cos theta=1$ (1)
... per cui siamo nel caso 'degenere' e può essere solo $theta=pi/2$ oppure $theta=0$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$sin theta + cos theta=1$ (1)
... per cui siamo nel caso 'degenere' e può essere solo $theta=pi/2$ oppure $theta=0$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
scusami lupo grigio, ma non ho capito cosa vuoi dire perchè da quanto suggeritomi poco sopra da laura.todisco e cavallipurosangue io ho sbagliato a fare la sostituzione..seguendo il consiglio datomi $x=1+costheta$ e $y=1+sentheta$ la circonferenza parametrizzata diventa giustamente $costheta^2+sentheta^2=1$ e facendo la sostituzione nella mia funzione di partenza ottengo una cosa del tipo $g(costheta,sentheta)=(1+costheta)^2+2(1+costheta)(1+sentheta)+(1+sentheta)^2$. Ora non capisco come procedere, devo calcolare il massimo e minimo di tale funzione?come si fa? mi sembra una cosa complessa tanto quanto il mio tentativo di utilizzare l'equazione cartesiana della circonferenza...scusatemi ma non ci vado fuori, forse sono duro io ma avrei bisogno di qualcuno che mi descriva passo passo come arrivare alla soluzione..sono un po disperato!
dalbianc, percaso è Analisi II di Informatica Multimediale (VR)?
bravo! giovedi ore 9 
io sono del vecchio ordinamento però, mi manca praticamente solo quello li...dai dammi un aiutino!
io sono del vecchio ordinamento però, mi manca praticamente solo quello li...dai dammi un aiutino!
"dalbianc":
bravo! giovedi ore 9
Hehehe immaginavo... mi pareva di aver già preso in mano l'esercizio... e poi anche dal post "Serie di fourier"! Vediamo che tiro fuori
caro dalbianc
purtroppo è accaduto un grande ambaradan il cui unico risultato è stato quello di trasformare un problema semplice in un rompicapo insolubile. Ti prego di accettare le mie scuse...
Vediamo qual era la tua dichiesta originaria...
... discutere la natura dei punti critici della funzione $f(x,y)=x^2+2xy+y^2$, quindi determinare estremo superiore e inferiore sul dominio determinato dagli assi coordinati e dalla circonferenza di centro (1,1) e raggio unitario...
Allora per prima cosa disegnamo un bel grafico...
... dove sono riportati gli assi cartesiani e il cerchio di centro (1,1) e raggio unitario. Per prima cosa è facile realizzare che la funzione...
$f(x,y)= x^2+2xy+y^2$ (1)
... altro non è che il quadrato della distanza del punto di coordinate $(x,y)$ dall'origine [in figura è rappresentata da una 'freccia'...]. Ora si chiede il massimo e il minimo di $f(x,y)$ nella superficie rappresentata in rosso ovvero sul perimetro di questa. Anche se la cosa è un poco ambigua, nel caso specifico il risultato è il medesimo. In base a condiderazioni puramente geometriche si può stabilire che la (1) avrà un minimo in $(x_0,y_0)=(1-sqrt(2),1-sqrt(2))$, dove varrà $f(x,y)=3-2sqrt(2)$, e un massimo in $(x_1,y_1)=(1+sqrt(2),1+sqrt(2))$ dove varrà $f(x,y)=3+2sqrt(2)$...
cordiali saluti
lupo grgio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
purtroppo è accaduto un grande ambaradan il cui unico risultato è stato quello di trasformare un problema semplice in un rompicapo insolubile. Ti prego di accettare le mie scuse...
Vediamo qual era la tua dichiesta originaria...
... discutere la natura dei punti critici della funzione $f(x,y)=x^2+2xy+y^2$, quindi determinare estremo superiore e inferiore sul dominio determinato dagli assi coordinati e dalla circonferenza di centro (1,1) e raggio unitario...
Allora per prima cosa disegnamo un bel grafico...
... dove sono riportati gli assi cartesiani e il cerchio di centro (1,1) e raggio unitario. Per prima cosa è facile realizzare che la funzione...
$f(x,y)= x^2+2xy+y^2$ (1)
... altro non è che il quadrato della distanza del punto di coordinate $(x,y)$ dall'origine [in figura è rappresentata da una 'freccia'...]. Ora si chiede il massimo e il minimo di $f(x,y)$ nella superficie rappresentata in rosso ovvero sul perimetro di questa. Anche se la cosa è un poco ambigua, nel caso specifico il risultato è il medesimo. In base a condiderazioni puramente geometriche si può stabilire che la (1) avrà un minimo in $(x_0,y_0)=(1-sqrt(2),1-sqrt(2))$, dove varrà $f(x,y)=3-2sqrt(2)$, e un massimo in $(x_1,y_1)=(1+sqrt(2),1+sqrt(2))$ dove varrà $f(x,y)=3+2sqrt(2)$...
cordiali saluti
lupo grgio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
figurati lupo grigio ti posso solo ringraziare della risposta e del tempo che stai perdendo!...tuttavia il dominio su cui determinare l'estremo superiore e inferiore non è quello dentro la circonferenza ma quello tra i due assi coordinati e l'arco della circonferenza..forse è colpa mia che mi son spiegato male e di questo ti chiedo scusa
Se il dominio e' quello segnato in figura allora le equazioni parametriche
dell'arco minore AB sono:
$x=1-costheta,y=1-sintheta->theta in [0,(pi)/2] $
Pertanto sostituendo si ha la nuova funzione (su arco(AB)):
$g(theta)=(2-sintheta-costheta)^2$ sempre con $theta in [0,(pi)/2]$
Ovviamente e' sufficiente considerare solo la funzione:
$h(theta)=2-sintheta-costheta$
E se si vogliono evitare ulteriori derivazioni si puo' scrivere anche cosi':
$h(theta)=2-sqrt2sin((pi)/4+theta)$
E da qui si vede che la h ha un minimo quando $sin((pi)/4+theta)=1$
ovvero per $theta=(pi)/4$ a cui corrisponde il minimo di h $=2-sqrt2>0$.
Il minimo di g ,sempre su AB,e' allora $(2-sqrt2)^2=6-4sqrt2$ assunto nel punto
$(1-(sqrt2)/2,1-(sqrt2)/2)$
Si ha inoltre $g(0)=g((pi)/2)=1$ e pertanto raccogliendo il tutto si conclude che
il minimo assoluto di f(x,y) e' =0 assunto in O(0,0) mentre il massimo assoluto
e' =1 assunto in (0,1) o in (1,0).
Salvo errori.
karl
perfetto karl, sono riuscito a seguire il tuo ragionamento e a capire...di fondo cmq sbaglio,non solo in questo esercizio, nel modo in cui passo alle coordinate polari, devo stare un po più attento. Ringrazio infinitamente te e gli altri del tempo dedicatomi.
ora dovrei calcolare il baricentro sempre di quel dominio li....innanzitutto vedo per simmetria che il baricentro deve stare sulla bisettrice del 1° 3° quadrante...applico la classica formula $(int_Axdxdy)/(int_Adxdy)$. Se resto in coordinate cartesiane mi trovo a dover calcolare,nel procedere dei calcoli, il seguente integrale che non so fare $int_0^1xsqrt(2x-x^2)$, oppure passo alle coordinate polari ma qui casca l'asino un'altra volta, non riesco a capire la giusta trasformazione...
Il denominatore della formula e' l'area del dominio e puo'
essere calcolato,senza integrazione, come differenza tra l'area
del quadrato di lato =1 e la quarta parte del cerchio di raggio=1.
Per il numeratore poni $sqrt(2x-x^2)=sqrt(x(2-x))=t(2-x)$
karl
essere calcolato,senza integrazione, come differenza tra l'area
del quadrato di lato =1 e la quarta parte del cerchio di raggio=1.
Per il numeratore poni $sqrt(2x-x^2)=sqrt(x(2-x))=t(2-x)$
karl
Beh anche per il baricentro credo sia più veloce un approccio del genere...
Scusa karl ma proprio non capisco che cosa intendi quando dici "Per il numeratore poni $sqrt(2x-x^2)=sqrt(x(2-x))=t(2-x)$"...è una sostituzione per risolvere l'integrale $int_0^1xsqrt(2x-x^2)$ ?? perchè se cosi fosse non so procedere
Mi riferivo a quell'integrale,come l'hai scritto tu.
Riferendomi a questo,si procede cosi'.
Intanto per x=0 e x=1 si ha t=0 e t=1.
Si eleva al quadrato:
$x(2-x)=t^2(2-x)^2$ e poiche in [0,1] 2-x non si annulla
si puo' dividere per 2-x e ricavare x:
(1) $x=(2t^2)/(1+t^2)$ e sostituendo nella relazione con la radice quadrata :
$sqrt(2x-x^2)=t*(2-(2t^2)/(1+t^2))=(2t)/(1+t^2)$
Inoltre differenziando la (1) risulta:
$dx=(4t)/(1+t^2)^2dt$
Sostituendo nell'integrale proposto (che chiamo L) si ha:
$L=16int_0^1(t^4)/(1+t^2)^4dt=16int_0^1[1/(1+t^2)^2-2/(1+t^2)^3+1/(1+t^2)^4]dt$
che si puo' integrare agevolmente usando la formula di ricorrenza
$int1/(1+t^2)^ndt=t/[2(n-1)(1+t^2)]+(2n-3)/(2n-2)int1/(1+t^2)^(n-1)dt$
karl
Riferendomi a questo,si procede cosi'.
Intanto per x=0 e x=1 si ha t=0 e t=1.
Si eleva al quadrato:
$x(2-x)=t^2(2-x)^2$ e poiche in [0,1] 2-x non si annulla
si puo' dividere per 2-x e ricavare x:
(1) $x=(2t^2)/(1+t^2)$ e sostituendo nella relazione con la radice quadrata :
$sqrt(2x-x^2)=t*(2-(2t^2)/(1+t^2))=(2t)/(1+t^2)$
Inoltre differenziando la (1) risulta:
$dx=(4t)/(1+t^2)^2dt$
Sostituendo nell'integrale proposto (che chiamo L) si ha:
$L=16int_0^1(t^4)/(1+t^2)^4dt=16int_0^1[1/(1+t^2)^2-2/(1+t^2)^3+1/(1+t^2)^4]dt$
che si puo' integrare agevolmente usando la formula di ricorrenza
$int1/(1+t^2)^ndt=t/[2(n-1)(1+t^2)]+(2n-3)/(2n-2)int1/(1+t^2)^(n-1)dt$
karl
ammazza tutt'altro che agevole per le mie capacità, pensavo fosse qualcosa di più semplice. Grazie dell'aiuto karl
Io avrei fatto diversamente, anche perchè seguendo la strada proposta dall'autore del post non si arriva a trovare il baricentro del sistema (sarebbe la strada per trovare il baricentro del settore circolare ad angolo retto...). Secondo me però è piu conveniente vedere il tutto da un'altra angolazione. Consideri un quadrato di lato unitario comprendente il nostro dominio avente baricentro a metà dei lati, il quale può essere visto come la somma del dominio e del settore circolare retto compreso. Quindi (anche dalla fisica): $Mx_q=m_cx_c+(M-m_c)x=>x={Mx_q-m_cx_c}/{M-m_c}$ dove $m_c$ è l'area del settore circolare ed $M$ quella del quadrato. Quindi:
$x={1\cdot1/2-\int_CxdS}/{M-m}$
A questo punto passando a coordinate polari puoi facilemnte trovare quanto vale quell'integrale, sostituire nella relazione e trovare il baricentro. Una volta trovata l'ascissa sarà necessariamente determinata anche l'ordianta, vista la simmetria...
$\int_CxdS=\int_{\pi}^{3/2\pi}(\int_0^1(1+r\cos\theta)rdr)d\theta=\int_{\pi}^{3/2\pi}[r^2/2+r^3/3\cos\theta]_0^1d\theta=\int_{\pi}^{3/2\pi}1/2+1/3\cos\thetad\theta=[\theta/2+1/3\sin\theta]_{\pi}^{3/2\pi}=3/4\pi-1/3-\pi/2=\pi/4-1/3$
Che è esattamente il valore che si ottiene integrando direttamnete l'integrale svolto da Karl.
Quindi infine:
$x={1/2-\pi/4+1/3}/{1-\pi/4}={5/6-\pi/4}/{1-\pi/4}=y$
$x={1\cdot1/2-\int_CxdS}/{M-m}$
A questo punto passando a coordinate polari puoi facilemnte trovare quanto vale quell'integrale, sostituire nella relazione e trovare il baricentro. Una volta trovata l'ascissa sarà necessariamente determinata anche l'ordianta, vista la simmetria...
$\int_CxdS=\int_{\pi}^{3/2\pi}(\int_0^1(1+r\cos\theta)rdr)d\theta=\int_{\pi}^{3/2\pi}[r^2/2+r^3/3\cos\theta]_0^1d\theta=\int_{\pi}^{3/2\pi}1/2+1/3\cos\thetad\theta=[\theta/2+1/3\sin\theta]_{\pi}^{3/2\pi}=3/4\pi-1/3-\pi/2=\pi/4-1/3$
Che è esattamente il valore che si ottiene integrando direttamnete l'integrale svolto da Karl.
Quindi infine:
$x={1/2-\pi/4+1/3}/{1-\pi/4}={5/6-\pi/4}/{1-\pi/4}=y$
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