Funzione
la funzione:(tutto in sistema)
$ x^2 - 7x + 5 x <= 1$
$-e^x-1 x>1 $
a) $ è continua in \mathbb{R}$
b) $ è continua per x != 1 $
c) $ presenta un salto in x = 1 $
d) $ nessuna delle precedenti $
se qualcuno mi dice come si riesce ad arrivare alla soluzione spiegando passaggio per passaggio gliene sarei grato perchè non capisco come si deve fare questo esercizio e vorrei capire quando una funzione è continua in R e perchè,quando è continua in x != 1 e perchè o perchè presenta un salto e perchè,sò di chiedere troppo ma altrimenti non capisco
$ x^2 - 7x + 5 x <= 1$
$-e^x-1 x>1 $
a) $ è continua in \mathbb{R}$
b) $ è continua per x != 1 $
c) $ presenta un salto in x = 1 $
d) $ nessuna delle precedenti $
se qualcuno mi dice come si riesce ad arrivare alla soluzione spiegando passaggio per passaggio gliene sarei grato perchè non capisco come si deve fare questo esercizio e vorrei capire quando una funzione è continua in R e perchè,quando è continua in x != 1 e perchè o perchè presenta un salto e perchè,sò di chiedere troppo ma altrimenti non capisco
Risposte
Comincio col dirti (serenamente come consiglio) che se devi scrivere del testo o lo scrivi senza i dollari oppure devi fare \text(TESTO) dentro i dollari.
Ora il problema:
le due funzioni che compongono la funzione sistema sono entrambi definite su tutto $RR$ e continue.
Dunque la tua funzione è continua in tutto $RR-{1}$.
Adesso devi verificare se è continua in $1$ facendo i limiti sinistro e destro e vedere se coincidono.
Ora il problema:
le due funzioni che compongono la funzione sistema sono entrambi definite su tutto $RR$ e continue.
Dunque la tua funzione è continua in tutto $RR-{1}$.
Adesso devi verificare se è continua in $1$ facendo i limiti sinistro e destro e vedere se coincidono.
ma come faccio a capire che sono entrambe continue???come devo svolgere l'esercizio scusa???la soluzione è che la funzione è continua in tutto $\mathbb{R}$ ma quello che nn riesco a capire,io con l due equazioni che ho dalla traccia cosa devo fare e di conseguenza come capisco se è continua in R,se è continua per $[x] \neq \mathbb{R} [1]$ o se presenta un salto in x = 1
A propio siamo alla base.
Ti dico due cose veloci che però devi assolutamente integrare con libri di testo.
Considera una funzione $f$ definita in un dominio $(a,b)$ in $RR$;
prendi un punto $x_0$ del dominio;
la funzione è continua in quel punto se $lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$.
Se questo vale per tutti i punti di $(a,b)$ allora la funzione è continua in quell'intervallo.
(Esistono diverse forme di continuità, questa corrisponde alla continuità puntuale, per adesso comincia da questa però sappi che ne esistono diverse).
Ora se hai due funzioni continue in un punto, la funzione data dalla loro somma è continua in quel punto.
Ora considera la prima funzione che hai $f_1(x)=x^2-7x+5x$, questa è la somma di tre addendi.
Prendi il primo, per esempio, $x^2$.
Considera un punto di $RR$ (dove la funzione è definita)
$lim_(x->x_0)x^2=x_0^2$.
Questo vale $forall x in RR$.
Lo stesso per le altre due e per l'altra funzione.
Diciamo che dopo un po' di pratica lo riesci a capire ad occhio se una funzione risulta rispecchiare delle forme di continuità.
A questo punto ti rimane da verificare se la funzione (sistema) che ti è stata data è continua in $x=1$.
Come lo fai?
Ti calcoli il limite destro della funzione ed il limite sinistro e vedi se se essi coincidono, perchè
$lim_(x->x_0)f(x)$ esiste se e solo se esistono limite sinistro e destro, ed essi coincidono.
Ti dico due cose veloci che però devi assolutamente integrare con libri di testo.
Considera una funzione $f$ definita in un dominio $(a,b)$ in $RR$;
prendi un punto $x_0$ del dominio;
la funzione è continua in quel punto se $lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$.
Se questo vale per tutti i punti di $(a,b)$ allora la funzione è continua in quell'intervallo.
(Esistono diverse forme di continuità, questa corrisponde alla continuità puntuale, per adesso comincia da questa però sappi che ne esistono diverse).
Ora se hai due funzioni continue in un punto, la funzione data dalla loro somma è continua in quel punto.
Ora considera la prima funzione che hai $f_1(x)=x^2-7x+5x$, questa è la somma di tre addendi.
Prendi il primo, per esempio, $x^2$.
Considera un punto di $RR$ (dove la funzione è definita)
$lim_(x->x_0)x^2=x_0^2$.
Questo vale $forall x in RR$.
Lo stesso per le altre due e per l'altra funzione.
Diciamo che dopo un po' di pratica lo riesci a capire ad occhio se una funzione risulta rispecchiare delle forme di continuità.
A questo punto ti rimane da verificare se la funzione (sistema) che ti è stata data è continua in $x=1$.
Come lo fai?
Ti calcoli il limite destro della funzione ed il limite sinistro e vedi se se essi coincidono, perchè
$lim_(x->x_0)f(x)$ esiste se e solo se esistono limite sinistro e destro, ed essi coincidono.
quindi faccio il limite destro e sinistro delle due funzioni che ho nel sistema,dopo se il limite destro e sinistro sono ugluali allora la funzione è continua,se xò non sono uguali le soluzioni avrò un salto vero???quindi in conclusione è continua in tutto R e non in $ [x] \neq [1] $
Si ha un salto perchè un limite viene $-1$ e l'altro $-e-1$, e quindi ha un salto finito;
comunque mi sembra meglio la risposta b) continua in tuto $RR-{1}$.
comunque mi sembra meglio la risposta b) continua in tuto $RR-{1}$.
eppure la risposta esatta è la a,ovvero continua in tutto R
Guarda continua in tutto $RR$ è sicuramente sbagliata;
la funzione è continua in tutto $RR-{1}$ ed in un $x=1$ presenta un salto finito.
la funzione è continua in tutto $RR-{1}$ ed in un $x=1$ presenta un salto finito.
il test fatto all'università dice che la risposta esatta è proprio quella che c'è stata data dal nostro professore...comunque ti volvevo chiedere giusto per capire,la funzione è continua se entrambi i limiti danno lo stesso risultato???ad esempio se ad uno esce 1 e all'altro -1 come sarà il risultato???comunque siccome ho due funzioni io,tra uno mi dice con $ \leqslant <1> $ e l'altro con x > 1 io voglio capire se i limiti delle due funzioni devo farli tendere entrambi ad 1 o se quella di sopra ad uno numero di 1....fammi capire questa cosa qui che non mi è chiara
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