Funzione

[bad.alex]

Ho difficoltà nella risoluzione del seguente esercizio. Vi chiedo di aiutarmi a capire, con spiegazioni e dimostrazioni, avendone la pazienza.

sia f : ]-1,1[ in R, così definita:

f(x) = $x^3$ se x appartiene a [-1,1]\{1/2}

2 se x= 1/2

dire se f è monotona ( non riesco a dimostrarlo!), provare che f è iniettiva e trovare il dominio e la funzione inversa.


vi ringrazio immensamente per l'attenzione che mi presterete. alex

[gugo82]

"bad.alex":Ho difficoltà nella risoluzione del seguente esercizio. Vi chiedo di aiutarmi a capire, con spiegazioni e dimostrazioni, avendone la pazienza.

sia $f : [-1,1] to RR$, così definita:

$f(x) = \{(x^3, " se " x in [-1,1]-{1/2}),(2, " se "x= 1/2):}$

dire se $f$ è monotona (non riesco a dimostrarlo!); provare che $f$ è iniettiva e trovare il dominio e la funzione inversa.


vi ringrazio immensamente per l'attenzione che mi presterete. alex

Prova a rappresentare tutto graficamente e vedrai che ti riesce subito l'esercizio.
[asvg]xmin=-2;
xmax=2;
ymin=-2;
ymax=2;
axes("labels","grid");
plot("x^3",-1,1);
dot([0.5,2]);[/asvg]
Come fa ad essere monotona $f$? In un punto interno all'intervallo di definizione, ossia in $1/2$, assume un valore $>1=f(1)$, quindi non può essere crescente; d'altra parte, non può nemmeno essere decrescente, perchè $f(0)=0> -1=f(-1)$ (se fosse decrescente dovrebbe essere il contrario).
Per rispondere alla domanda sulla funzione inversa, basta simmetrizzare il tutto rispetto alla bisettrice e notare che la tua $f$ non prende il valore $1/8=(1/2)^3$...

[bad.alex]

grazie gugo82. Mi devo "rassegnare";) il grafico è la migliore soluzione ai miei problemi.

un abbraccio. alex