Funzione
Si consideri la funzione $f(x)=x^124$. Quale delle seguenti asserzioni è vera?1) f(x) è concava 2)f(x) è crescente 3)f(x) è convessa 4)f(x) è decrescente 5)nessuna delle altre risposte. se potete scrivete anche il calcolo della derivata prima e seconda così li confronto con le mie.grazie...
Risposte
Basta usare le regole di derivazione...
$f'(x) = 124 x^{123}$
$f''(x) = 124 * 123 x^{122}$
pertanto $f$, in quanto funzione reale di variabile reale, è convessa.
$f'(x) = 124 x^{123}$
$f''(x) = 124 * 123 x^{122}$
pertanto $f$, in quanto funzione reale di variabile reale, è convessa.
perfetto le derivate sono venute anche a me in quel modo però perchè dici che è convessa?se facciamo lo studio del segno sarebbe positiva per tutti i R escluso lo zero quindi perchè è convessa?
Condizione sufficiente per la convessità è che la derivata seconda sia sempre non negativa, o sbaglio?
1. quando si dice "convessa" di solito non si intende la stretta convessita', ma solo la convessita' "col maggiore o uguale". Da questo punto di vista, avere che la derivata seconda e' sempre maggiore o uguale a zero garantisce tranquillamente la convessita'
2. in realta' la funzione e' anche strattamente convessa. Essendo derivabile due volte e avendo la derivata seconda sempre strettamente positiva tranne che in un punto si puo' dim che la funzione e' stratamente convessa (trucchetti con Lagrange e famiglia)
EDIT: rispondevo a marcus83 ma ho preso 2 piccioni con...
2. in realta' la funzione e' anche strattamente convessa. Essendo derivabile due volte e avendo la derivata seconda sempre strettamente positiva tranne che in un punto si puo' dim che la funzione e' stratamente convessa (trucchetti con Lagrange e famiglia)
EDIT: rispondevo a marcus83 ma ho preso 2 piccioni con...
sai che credevo che la condizione sufficiente fosse che la derivata secondo fosse sempre positivi affinchè potesse essere convessa. infatti io avrei risposto che era crescente perchè la derivata prima si pone maggiore e uguale a zero e se così fossi si potrebbe includere anche lo zero e sarebbe sempre crescente visto che si tratta di esponenziale...sbaglio nel mio ragionamento?
Eh no... qui non ci sono esponenziali...
"Fioravante Patrone":
EDIT: rispondevo a marcus83 ma ho preso 2 piccioni con...
Io pensavo avessi fatto in tempo a leggere anche la mia risposta... telepatia?
scusa$x^124$come la chiami? e perchè non può essere crescente???
non e' una esponenziale
Un esponenziale è una funzione del tipo $a^x$, ovvero l'incognita sta all'esponente. Una funzione del tipo $x^a$, dove all'esponente c'è una costante, è una potenza. La derivata prima vale $x^{123}$, e risulta $x^{123} > 0$ per $x > 0$, $x^{123} < 0$ per $x < 0$, pertanto la funzione è crescente per $x > 0$ e decrescente per $x < 0$.
@Tipper: stavolta t'ho bruciato sul tempo!
ma scusa se tu dai -1 alla x quindi avremmo $-1^123$ non sarebbe come dire $1/1^123$ che è un numero positivo...quindi f'(x) non sarebbe maggiore di zero per tutti gli R escluso zero.
"Fioravante Patrone":
@Tipper: stavolta t'ho bruciato sul tempo!
"marcus83":
ma scusa se tu dai -1 alla x quindi avremmo $-1^123$ non sarebbe come dire $1/1^123$ che è un numero positivo...quindi f'(x) non sarebbe maggiore di zero per tutti gli R escluso zero.
Eh no... casomai $1^{-123} = \frac{1}{123}$...
EDIT: ehm... c'è un evidente errore di battitura (sarà solo di battitura?
)
caspita hai ragione...grazie tipper come sempre mi hai insegnato qualcosa di nuovo senza nulla togliere a fioravante patrone che è un mostro sacro della matematica non sbaglia un colpo:)))
non esageriamo...
e' che stamattina ero a colazione assieme a Rockafellar (R.T., quello di "Convex Analysis") e quindi un po' di conoscenza sulla convessita' mi e' arrivata per contagio diretto
e' che stamattina ero a colazione assieme a Rockafellar (R.T., quello di "Convex Analysis") e quindi un po' di conoscenza sulla convessita' mi e' arrivata per contagio diretto
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