Funzione
Ciao,
ho un problema con una funzione termodinamica...
esattamente:
$(Delta_(mix)G_m)^(reg)=RT[(1-x_2)ln(1-x_2)+x_2lnx_2]+wx_2-w(x_2)^2$
se fisso $w>0$ e si studia l andamento in funzione di $x_2$ per differenti valori di T, si puo vedere che per valori di RT sufficientemente bassi rispetto a $w$ la funzione presenta due massimi ed un minimo. Questo vuol dire che per questi valori di T l equazione di prima eguagliata a zero deve avere quattro radici distinte (4zeri).La posizione degli zeri si avvicina mano a mano che T aumenta fino a coincidere in un solo zero in corrispondenza del valore $T=w/(2R)$ e per valori di $T>w/(2R)$.
Facendo il grafico $(Delta_(mix)G_m)/w$ in funzione di $x_2$ nn dovrei avere un linea che interseca in un solo punto l asse in cui riporto $x_2$(l asse x)??
perche sul libro nn riesco a capire il grafico...
grazie
ciao!
ho un problema con una funzione termodinamica...
esattamente:
$(Delta_(mix)G_m)^(reg)=RT[(1-x_2)ln(1-x_2)+x_2lnx_2]+wx_2-w(x_2)^2$
se fisso $w>0$ e si studia l andamento in funzione di $x_2$ per differenti valori di T, si puo vedere che per valori di RT sufficientemente bassi rispetto a $w$ la funzione presenta due massimi ed un minimo. Questo vuol dire che per questi valori di T l equazione di prima eguagliata a zero deve avere quattro radici distinte (4zeri).La posizione degli zeri si avvicina mano a mano che T aumenta fino a coincidere in un solo zero in corrispondenza del valore $T=w/(2R)$ e per valori di $T>w/(2R)$.
Facendo il grafico $(Delta_(mix)G_m)/w$ in funzione di $x_2$ nn dovrei avere un linea che interseca in un solo punto l asse in cui riporto $x_2$(l asse x)??
perche sul libro nn riesco a capire il grafico...
grazie
ciao!
Risposte
Ciao ...a me pare di capire che lo studio di funzione fatto rispetto e x2 esprime il fatto che sono presenti 2 massimi e un minimo dunque la funzione taglierà l'asse delle ascisse al più due volte....
Mi sbaglio?
Mi sbaglio?
dovrebbe ma nel grafico riportato sulle dispense nn e cosi nn taglia l asse delle ascisse
Ma potrebbe benissimo essere cosi...Cioè non è detto che taglia l'asse delle ascisse. Per verificarlo poni la $f(x_2) =0$ e vedi se esiste qualche valore di $x_2$ che verifica tale condizione.
perche potrebbe essere come illustrato sul grafico delle mie dispense?
scusa se una una funzione $f(x)$ ha uno zero nn vuol dire che $f(x)=0$ e per quel valore di x la f interseca l asse x?
scusa se una una funzione $f(x)$ ha uno zero nn vuol dire che $f(x)=0$ e per quel valore di x la f interseca l asse x?
sarebbe utile vedere il grafico che riporta la tua dispensa....anche se per qualsiasi valore arbitrario di RT e w inevitabilmente la funzione va a 0 in $x=0$ e $x=1$
il grafico e sul seguente link http://freefilehosting.net/show/OTk= e sull asse y e sono riportati i valori di $(Delta_(mix)G_m)/w$
ok allora torna!
se vedi l'asse delle x non è quello in basso ma quello in cima, per capirci dove inizia la funzione.....con derive ho provato a mettere dei valori a caso di RT e w e mi viene decisamente simile
se vedi l'asse delle x non è quello in basso ma quello in cima, per capirci dove inizia la funzione.....con derive ho provato a mettere dei valori a caso di RT e w e mi viene decisamente simile
ok grazie per le risposte...
ma ancora nn mi e chiaro dove posso trovare su questo grafico lo zero con molteplicita 4, a me sembra di vedere 2 zeri....
ma ancora nn mi e chiaro dove posso trovare su questo grafico lo zero con molteplicita 4, a me sembra di vedere 2 zeri....
in base al valore di RT e w ...se fai la derivata ti viene una cosa del genere:
$-RTln(1-x)+RTlnx+2wx+w$
Se infatti vedi hai 4 punti di annullamento.
2 punti li vedi a occhio:
con $x=0$ con $x=1$
il terzo e il quarto è un punto che trovi risolvendo l'equazione della derivata ponendola uguale a zero...
Comunque è variando il valore di RT che modifichi la curva "alzandola" per così dire dall'asse delle x e quindi in modo da avere due molteplicità in più.
nell'immagine ho cambiato il valore di RT per farti vedere che taglia l'asse 4 volte
$-RTln(1-x)+RTlnx+2wx+w$
Se infatti vedi hai 4 punti di annullamento.
2 punti li vedi a occhio:
con $x=0$ con $x=1$
il terzo e il quarto è un punto che trovi risolvendo l'equazione della derivata ponendola uguale a zero...
Comunque è variando il valore di RT che modifichi la curva "alzandola" per così dire dall'asse delle x e quindi in modo da avere due molteplicità in più.
nell'immagine ho cambiato il valore di RT per farti vedere che taglia l'asse 4 volte
scusa, ma nn capisco... le dispense dicono che per il valore che ho riportato nel post sopra la funzione ha UNO zero con molteplicita QUATTRO...nn dovrebbe interesecare l asse x in UN punto?
cavoli sto impazzendo!!le dispense riportano un minimo in $X_2=1/2$??nn e possibile
grazie ancora
cavoli sto impazzendo!!le dispense riportano un minimo in $X_2=1/2$??nn e possibile
grazie ancora
"richard84":
le dispense riportano un minimo in $X_2=1/2$??nn e possibile
dipende a quale delle 3 funzioni che hai riportato si riferisce la dispensa, se è la terza è vero...infatti è una parabola col minimo in $1/2$
scusa ma non capisco cosa intendi per quelle molteplicità
le tre derivate della funzione sono le seguenti:
$f'(x_2)=-RTln(1-x_2)+RTln(x_2)+w-2wx_2$
$f''(x_2)=(RT)/(1-x_2)+(RT)/(x_2)-2wx_2$
$f'''(x_2)=(RT)/((1-x_2)^2)-(RT)/(x_2)$
se io in queste sosituisco $x_2=1/2$ e $T=w/(2R)$ nn s annullano, perche?
io penso che molteplicita 4 vuol dire che hai 4 soluzioni coincidenti...mi hanno sempre insegnato cosi...
per esempio in una parabola se hai le due soluzioni reali e coincidenti avrai il vertice dove la y=0 quindi un intersezione con l asse x..
qua nn dovrebbe essere la stessa cosa?
$f'(x_2)=-RTln(1-x_2)+RTln(x_2)+w-2wx_2$
$f''(x_2)=(RT)/(1-x_2)+(RT)/(x_2)-2wx_2$
$f'''(x_2)=(RT)/((1-x_2)^2)-(RT)/(x_2)$
se io in queste sosituisco $x_2=1/2$ e $T=w/(2R)$ nn s annullano, perche?
io penso che molteplicita 4 vuol dire che hai 4 soluzioni coincidenti...mi hanno sempre insegnato cosi...
per esempio in una parabola se hai le due soluzioni reali e coincidenti avrai il vertice dove la y=0 quindi un intersezione con l asse x..
qua nn dovrebbe essere la stessa cosa?
una parabola ha due soluzioni perchè è di secondo grado e molteplicità 2 nello stesso tempo.
ma la molteplicità di un polinomio non ti da necessariamente il numero di radici.
la molteplicità ti indica quante volte sei in grado di dividere il tuo polinomio con il monomio $(x-a)$
ma nel tuo caso non la molteplicità non ti indica molto perchè hai a che fare con una funzione trascendente ke è il logaritmo
i valori devi sostiuirli nella derivata prima che ti da informazioni riguardo la crescenza della curva...in presenza del minimo la $f'(x)$ vale 0
infatti in $1/2$ hai proprio che la tua derivata si annulla
ma la molteplicità di un polinomio non ti da necessariamente il numero di radici.
la molteplicità ti indica quante volte sei in grado di dividere il tuo polinomio con il monomio $(x-a)$
ma nel tuo caso non la molteplicità non ti indica molto perchè hai a che fare con una funzione trascendente ke è il logaritmo
i valori devi sostiuirli nella derivata prima che ti da informazioni riguardo la crescenza della curva...in presenza del minimo la $f'(x)$ vale 0
infatti in $1/2$ hai proprio che la tua derivata si annulla
allora sulle mie dispense hanno sbagliato e io continuo a nn capire cavoli come trovare lo zero con molteplicita 4, e il minimo?
sulle mie dispense viene scritto che 1/2 deve soddisfare tutte e 3 le derivate....questo grafico sta mettendo in dubbio le mie pochissime certezze d analisi che avevo!
sulle mie dispense viene scritto che 1/2 deve soddisfare tutte e 3 le derivate....questo grafico sta mettendo in dubbio le mie pochissime certezze d analisi che avevo!
non so come impostano il problema sulle tue dispense...ma dallo studio di funzione fatto ad analisi sai anche te che un punto di minimo (o massimo) soddisfa la condizione di annullamento della derivata prima.
Nel tuo caso $1/2$ soddisfa a pieno questa condizione condizione, $f'_((1/2))=0$!!!
Nel tuo caso $1/2$ soddisfa a pieno questa condizione condizione, $f'_((1/2))=0$!!!
va be forse e meglio che lascio perdere...sto punto a molteplicita 4 nn ho capito dove posso vederlo sul grafico..
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