Funzione

[Ciao.09]

cosa è una funzione?

[_Tipper]

Una funzione è una relazione fra due insiemi che associa ad ogni elemento del primo uno e un solo elemento del secondo, e una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano.
L'insieme di partenza, da cui la funzione prende i valori, di dice dominio, l'insieme di arrivo si dice codominio. Per indicare che una funzione $f$ ha come dominio $A$ e come codominio $B$ si scrive

$f: A \to B$

Per indicare che $(a, b) \in f$, ovviamente con $a \in A$ e $b \in B$, si scrive $f(a) = b$, e si dice che $b$ è l'immagine di $a$ tramite $f$.
L'immagine di una funzione è, detto informalmente, l'insieme dei valori assunti dalla funzione. L'immagine è un sottoinsieme del codominio, infatti

$"Im"(f) = \{b \in B: \exists a \in A: f(a) = b\}$

Dato un elemento $b \in "Im"(f)$, si definisce retroimmagine di $b$ l'insieme $\bar{A} \subseteq A$ tale che $\forall \bar{a} \in \bar{A}$ risulta $f(\bar{a}) = b$.

Nel caso in cui immagine e codominio coincidano la funzione si dice suriettiva. Se invece ad ogni elemento dell'immagine corrisponde un solo elemento del dominio la funzione si dice iniettiva, ovvero, la funzione $f$ considerata precedentemente si dice iniettiva se e solo se

$\forall b \in "Im"(f) \exists!" " a \in A: f(a) = b$

Se una funzione è iniettiva e suriettiva allora è pure invertibile, dato che esiste una corrispondenza biunivoca fra gli elementi del dominio e quelli che codominio.

[Lorenzo Pantieri]

"Cia9999":cosa è una funzione?

Bella domanda. Intuitivamente, una funzione dall'insieme $A$ all'insieme $B$ è una "legge" che associa ad ogni elemento di $A$ uno ed uno solo elemento di $B$.

Rigorosamente, una funzione tra $A$ e $B$ è un (particolare) sottoineme del prodotto cartesiano $A\times B$.

Le funzioni sono tra gli oggetti più importanti di tutta la matematica.

http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_fi ... buzioni.pd