Funzione 2 variabili max e min relativi e assoluti
Salve, sto esercitandomi sugli estremi relativi assoluti e vincolati delle funzioni a due variabili, volevo porvi questo esercizio per togliermi qualche dubbio e per aver certezza di svolgere bene e capire i passaggi grazie 
Il testo dice : Determinare gli estremi relativi della seguente funzione nel suo campo di esistenza
$f (x,y) = |x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$*$ln|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$
cosi la prima cosa è calcolare il campo di esistenza della funzione, ponendo quindi $|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|>0$
deduco a vista che l'unico valore per cui l'espressione non è maggiore di $0$ è per la coppia $(0,0)$ quindi deduco che il campo di esistenza sia $RR^2$$/(0,0)$ e credo fin qui sia ok
poi comincio con il calcolo degli estremi, noto che la funzione posso spezzarla in due funzioni notando che c'è una parte che si ripete nella funzione, quindi decido di dividere la funzione in questo modo :
$t(x,y) = |x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$ e poi $\phi(t) = t*ln(t)$
questo perchè subentra una parte teorica che dice che se verifico la crescenza o decresenza della funzione $\phi$ allora mi basta calcolare gli estremi relativi della funzione $t$ e saranno validi anche per $\phi$, anche se qui vorrei chiedere a qualcuno che sia disponibile a darmi un chiarimento in quanto non ho ben capito questo concetto, ho afferrato l'idea di base ma non ho ben capito il concetto del perchè, diciamo.
Detto questo quindi studio la crescenza della funzione $phi(t)$ che è a una variabile quindi :
$\phi' (t) = 1*ln(t)+t*(1/t)$ e quindi viene $ln(t) + 1$
calcolo ora $\phi'(t) >0$ e quindi ottengo $ln(t)>(-1)$ e quindi $t>1/e$ quindi ho che in $1/e$ ho un minimo per la funzione $phi$ ma mi sorge il dubbio perchè in teoria la funzione logaritmo è una funzione che cresce sempre e quindi mi sfugge qualcosa qua ... se qualcuno mi illumina
Ora passo a studiare la mia funzione $t(x,y) = |x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$
Separo il modulo e quindi studio prima il caso per cui $x^4 + y^4 -2x^2 -2y^2+4xy<0$
$t_x= -4x^3+4x-4y$ mentre $t_y=-4y^3+4y-4x$
mettendole a sistema per trovare i punti critici ho :
$\{(-x^3+x-y=0),(-y^3+y-x=0):}$ risolvendo ottengo 3 punti che sono : $(0,0)$ ; $(sqrt(2),-sqrt(2))$ ; $(-sqrt(2),sqrt(2))$
Scarto subito il punto $(0,0)$ in quando non fa parte del mio campo esistenza e per gli altri due verifico prima se rispettano la condizione $x^4 + y^4 -2x^2 -2y^2+4xy<0$ quando ho diviso il modulo se non sbaglio, e ottengo comunque che soddisfano la disequazione quindi posso prenderli.
Passo cosi a calcolare l'Hessiano :
Le derivate miste e seconde mi vengono : $t_(xy) = -4$ ; $t_(yx)=-4$ , $t_(x,x)= -12x^2+4$ e $t_(yy)=-12y^2+4$
Il determinante dell'Hessiano viene quindi : $(-12x^2+4)(-12y^2+4)-16$ e calcolandomi l'Hessiano per ogni punto trovato prima ottengo che : $H(sqrt(2),-sqrt(2))=384>0$ e che $H(-sqrt(2),sqrt(2))=384>0$
vedo anche che sostituendo i punti alla $t_(x,x)$ ottengo in entrambi i casi $-20<0$
quindi ottengo alla fine che entrambi sono punti di massimo relativo.
per il caso invece del modulo positivo ho$x^4 + y^4 -2x^2 -2y^2+4xy>=0$ e ottengo gli stessi punti di prima che pero non mi soddisfano la condizione del modulo ( visto che non possono gli stessi punti soddisfare contemporaneamente la condizione $>=$ e la condizione $<$ ) quindi questo caso non si considera.
Ora pero mi chiedo ... visto che ho trovato un punto di minimo per la funzione $\phi$ ( anche se ho qualche dubbio che ho esposto sopra infatti ), e che per la funzione $t$ ho trovato due di massimo relativo, come si conclude l'esercizio ? cioè sono tutti e 3 punti da considerare ? cioè alla fine concludo che la funzione ha un punto di minimo relativo e due di massimo ? o c'è qualche ulteriore passaggio da fare ?
L'esercizio ha una seconda parte che chiede di trovare poi gli estremi assoluti ma prima voglio capire se questa prima parte è svolta bene prima di proseguire.
Grazie dell'aiuto
Il testo dice : Determinare gli estremi relativi della seguente funzione nel suo campo di esistenza
$f (x,y) = |x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$*$ln|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$
cosi la prima cosa è calcolare il campo di esistenza della funzione, ponendo quindi $|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|>0$
deduco a vista che l'unico valore per cui l'espressione non è maggiore di $0$ è per la coppia $(0,0)$ quindi deduco che il campo di esistenza sia $RR^2$$/(0,0)$ e credo fin qui sia ok
poi comincio con il calcolo degli estremi, noto che la funzione posso spezzarla in due funzioni notando che c'è una parte che si ripete nella funzione, quindi decido di dividere la funzione in questo modo :
$t(x,y) = |x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$ e poi $\phi(t) = t*ln(t)$
questo perchè subentra una parte teorica che dice che se verifico la crescenza o decresenza della funzione $\phi$ allora mi basta calcolare gli estremi relativi della funzione $t$ e saranno validi anche per $\phi$, anche se qui vorrei chiedere a qualcuno che sia disponibile a darmi un chiarimento in quanto non ho ben capito questo concetto, ho afferrato l'idea di base ma non ho ben capito il concetto del perchè, diciamo.
Detto questo quindi studio la crescenza della funzione $phi(t)$ che è a una variabile quindi :
$\phi' (t) = 1*ln(t)+t*(1/t)$ e quindi viene $ln(t) + 1$
calcolo ora $\phi'(t) >0$ e quindi ottengo $ln(t)>(-1)$ e quindi $t>1/e$ quindi ho che in $1/e$ ho un minimo per la funzione $phi$ ma mi sorge il dubbio perchè in teoria la funzione logaritmo è una funzione che cresce sempre e quindi mi sfugge qualcosa qua ... se qualcuno mi illumina
Ora passo a studiare la mia funzione $t(x,y) = |x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$
Separo il modulo e quindi studio prima il caso per cui $x^4 + y^4 -2x^2 -2y^2+4xy<0$
$t_x= -4x^3+4x-4y$ mentre $t_y=-4y^3+4y-4x$
mettendole a sistema per trovare i punti critici ho :
$\{(-x^3+x-y=0),(-y^3+y-x=0):}$ risolvendo ottengo 3 punti che sono : $(0,0)$ ; $(sqrt(2),-sqrt(2))$ ; $(-sqrt(2),sqrt(2))$
Scarto subito il punto $(0,0)$ in quando non fa parte del mio campo esistenza e per gli altri due verifico prima se rispettano la condizione $x^4 + y^4 -2x^2 -2y^2+4xy<0$ quando ho diviso il modulo se non sbaglio, e ottengo comunque che soddisfano la disequazione quindi posso prenderli.
Passo cosi a calcolare l'Hessiano :
Le derivate miste e seconde mi vengono : $t_(xy) = -4$ ; $t_(yx)=-4$ , $t_(x,x)= -12x^2+4$ e $t_(yy)=-12y^2+4$
Il determinante dell'Hessiano viene quindi : $(-12x^2+4)(-12y^2+4)-16$ e calcolandomi l'Hessiano per ogni punto trovato prima ottengo che : $H(sqrt(2),-sqrt(2))=384>0$ e che $H(-sqrt(2),sqrt(2))=384>0$
vedo anche che sostituendo i punti alla $t_(x,x)$ ottengo in entrambi i casi $-20<0$
quindi ottengo alla fine che entrambi sono punti di massimo relativo.
per il caso invece del modulo positivo ho$x^4 + y^4 -2x^2 -2y^2+4xy>=0$ e ottengo gli stessi punti di prima che pero non mi soddisfano la condizione del modulo ( visto che non possono gli stessi punti soddisfare contemporaneamente la condizione $>=$ e la condizione $<$ ) quindi questo caso non si considera.
Ora pero mi chiedo ... visto che ho trovato un punto di minimo per la funzione $\phi$ ( anche se ho qualche dubbio che ho esposto sopra infatti ), e che per la funzione $t$ ho trovato due di massimo relativo, come si conclude l'esercizio ? cioè sono tutti e 3 punti da considerare ? cioè alla fine concludo che la funzione ha un punto di minimo relativo e due di massimo ? o c'è qualche ulteriore passaggio da fare ?
L'esercizio ha una seconda parte che chiede di trovare poi gli estremi assoluti ma prima voglio capire se questa prima parte è svolta bene prima di proseguire.
Grazie dell'aiuto
Risposte
Ciao. Secondo me c'è un modo che ti risparmia questo macello di calcoli.
Se poni: $x^4+y^4-2(x-y)^2=t$, allora avrai $f(t)=|t|ln|t|$.
Il dominio di questa funzione è dato dagli $t$ tali che: $|t|>0 <=> \{(t>0),(-t>0):} <=> \{(t>0),(t<0):}$.
Questo modo ti permette di sfruttare la proprietà del modulo per cui un numero negativo in modulo è sempre positivo, cioè in generale: $|-x|=x$. Quindi ti riduci a dover studiare una sola funzione che è $f(t)=f(x,y)=(x^4+y^4-2(x-y)^2)ln(x^4+y^4-2(x-y)^2)$. Ora studia i punti critici di questa funzione e vedi cosa ti esce.
Se poni: $x^4+y^4-2(x-y)^2=t$, allora avrai $f(t)=|t|ln|t|$.
Il dominio di questa funzione è dato dagli $t$ tali che: $|t|>0 <=> \{(t>0),(-t>0):} <=> \{(t>0),(t<0):}$.
Questo modo ti permette di sfruttare la proprietà del modulo per cui un numero negativo in modulo è sempre positivo, cioè in generale: $|-x|=x$. Quindi ti riduci a dover studiare una sola funzione che è $f(t)=f(x,y)=(x^4+y^4-2(x-y)^2)ln(x^4+y^4-2(x-y)^2)$. Ora studia i punti critici di questa funzione e vedi cosa ti esce.
"paolotesla91":
$|-x|=x$
Pura pignoleria: che!?!
@Plepp: mi riferisco a questo fatto: in generale se hai $|-1|=1$. Non so se mi sono spiegato.
@malcon: comunque ho controllato ed anche con questo metodo ottieni lo stesso punto critico che risulta essere di minimo assoluto essendo l'unico. L'unico pro è che risparmi calcoli.
@malcon: comunque ho controllato ed anche con questo metodo ottieni lo stesso punto critico che risulta essere di minimo assoluto essendo l'unico. L'unico pro è che risparmi calcoli.
"malcon":
$f (x,y) = |x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$*$ln|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$
cosi la prima cosa è calcolare il campo di esistenza della funzione, ponendo quindi $|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|>0$
deduco a vista che l'unico valore per cui l'espressione non è maggiore di $0$ è per la coppia $(0,0)$ quindi deduco che il campo di esistenza sia $RR^2$$/(0,0)$ e credo fin qui sia ok
Ciao Malcon. Mi spiace, ma non è cosi
sta una curva "orribile" che devi escludere da $RR^2$, quella appunto di equazione\[x^4 + y^4 -2(x-y)^2=0\]
A farla breve, la precedente equazione non ha $(0,0)$ come unica soluzione, bensì ha infinite soluzioni (e.g. $(x,y)=(2,-2)$)
"paolotesla91":
@Plepp: mi riferisco a questo fatto: in generale se hai $|-1|=1$. Non so se mi sono spiegato.
Ahhhhh ok ok. Quindi intendevi: "in generale $|-x|=x$ se $x\geq 0$" ok, ora si
. Lo so che ho difficoltà a spiegarmi ma cosa avevi capito? xD
Ennò è che da come mi era parso avevi "sconvolto" la definizione di valore assoluto! Mi pareva strano!
è che da come mi era parso avevi "sconvolto" la definizione di valore assoluto! Mi pareva strano!
Moduli a parte...mi sto mangiando il cervello 
non riesco a determinare una forma "utile" della curva da escludere
da $RR^2$ per il campo d'esistenza idee?
non riesco a determinare una forma "utile" della curva da escludere da $RR^2$ per il campo d'esistenza
idee?
mmmm..no! Io ho risolto diversamente, ho sostituito tutto con $t$ ed ho studiato la funzione di una variabile.
EDIT: ho provato a tracciare un grafico con Derive ma è una figura abbastanza strana. Difficile da calcolare analiticamente insomma.
EDIT: ho provato a tracciare un grafico con Derive ma è una figura abbastanza strana. Difficile da calcolare analiticamente insomma.
Essì ma non ha senso studiare $\phi(t)=\cdots$ se non conosciamo il dominio. Comunque ora mi sono arreso e l'ho disegnato anch'io con derive è orribile...
è orribile...
No Plepp..non lo conosciamo esplicitamente! Sappiamo di sicuro che l'origine non va presa in considerazione, mentre i punti sia $>0$ che $<0$ ci riportano comunque alla stessa funzione. Altrimenti perchè avrei fatto tutta quella fatica per scrivere la funzione in quel modo ti pare?!
Scusami, ma non capisco 
spiegati meglio 
spiegati meglio
Tutto quel discorso che ho fatto prima era per ovviare alla difficoltà di risolvere la disequazione $x^4+y^4-2(x-y)^2>0$. Quindi ho ragionato in questo modo: quella quantità è sicuramente $>=0$, quindi sfrutto la proprietà del valore assoluto. Prima di fare ciò però devo escludere i punti in cui non esiste la funzione, che in questo caso è proprio l'origine. Mi sono spiegato?
In sostanza, comunque tu prendi punti sia $>0$ che $<0$ e li metti nel modulo, ottieni sempre la stessa cosa col segno positivo, quindi la stessa funzione.
In sostanza, comunque tu prendi punti sia $>0$ che $<0$ e li metti nel modulo, ottieni sempre la stessa cosa col segno positivo, quindi la stessa funzione.
Si si ora ho capito! Però se devo essere sincero mi pare molto più sensato il procedimento di malcon. Il tuo non semplifica granchè...e poi
Come solo l'origine??? Abbiamo appena concluso che ci sono infiniti punti dove la funzione non esiste!!!
Però se devo essere sincero mi pare molto più sensato il procedimento di malcon. Il tuo non semplifica granchè...e poi
Prima di fare ciò però devo escludere i punti in cui non esiste la funzione, che in questo caso è proprio l'origine.
Come solo l'origine??? Abbiamo appena concluso che ci sono infiniti punti dove la funzione non esiste!!!
Allora non credo di essre stato chiaro. Faccio un esempio per essere più chiaro:
Dopo aver posto la sostituzione considero $f(t)=|t|ln|t|$. Allora:
$(1)$ se $t=0 => f(0)=|0|ln|0|=0*ln0=0*(-infty)$ e allora la funzione non esiste.
$(2)$ se $t=-1 => f(-1)=|-1|ln|-1|=1*ln(1)=0$, allora la funzione esiste e vale $0$.
$(3)$ se $t=-2 => f(-2)=|-2|ln|-2|=2ln(2)$, allora la funzione esiste e vale $2ln(2)$.
.
........... ecc........
Ora io ti chiedo, in quali punti non esiste la funzione?
Dopo aver posto la sostituzione considero $f(t)=|t|ln|t|$. Allora:
$(1)$ se $t=0 => f(0)=|0|ln|0|=0*ln0=0*(-infty)$ e allora la funzione non esiste.
$(2)$ se $t=-1 => f(-1)=|-1|ln|-1|=1*ln(1)=0$, allora la funzione esiste e vale $0$.
$(3)$ se $t=-2 => f(-2)=|-2|ln|-2|=2ln(2)$, allora la funzione esiste e vale $2ln(2)$.
.
........... ecc........
Ora io ti chiedo, in quali punti non esiste la funzione?
Non esiste per $t=0$, ovvero per
\[x^4+y^4-2(x-y)^2=0\]
quindi per infiniti punti. Se con "origine" hai inteso $t=0$, ok. Se hai inteso $(0,0)$ è un altro discorso.
Data la situazione, pensavo ti riferissi all'origine del piano $xy$, non della retta lungo la quale misuri $t$.
\[x^4+y^4-2(x-y)^2=0\]
quindi per infiniti punti. Se con "origine" hai inteso $t=0$, ok. Se hai inteso $(0,0)$ è un altro discorso.
Data la situazione, pensavo ti riferissi all'origine del piano $xy$, non della retta lungo la quale misuri $t$.
No io mi riferivo alla retta con cui si misura $t$. Oddio adesso sono confuso :S xD ahahah
Io intendo dire che in $t=0$ la funzione $f(t)$ non esiste e allora non esiste nemmeno nel punto $(0,0)$. Capito?
Io intendo dire che in $t=0$ la funzione $f(t)$ non esiste e allora non esiste nemmeno nel punto $(0,0)$. Capito?
Certo, ora si però $t=0$ è equivalente a $x^4+y^4-2(x-y)^2=0$, che non ha solo $(0,0)$ come soluzione. Cmq ripensandoci questo discorso è inutile l'esercizio non chiede di determinare il campo di esistenza per cui possiamo cercare i punti critici come cavolo ci pare...
però $t=0$ è equivalente a $x^4+y^4-2(x-y)^2=0$, che non ha solo $(0,0)$ come soluzione. Cmq ripensandoci questo discorso è inutile l'esercizio non chiede di determinare il campo di esistenza per cui possiamo cercare i punti critici come cavolo ci pare...
grazie intanto a tutti e due per le risposte e lo scambio di pareri e idee, in effetti io quell'equazione per determinare il campo di esistenza la ho valutata molto superficialmente mi sa, da quello che dite ho capito che $(0,0)$ non è in effetti l'unico punto per cui non è valida la disequazione, mi è venuta in mente una cosa dopo provo a farla e vedo se riescoa venirne a capo.
Per il resto ho qualche punto che non ho capito dai vostri interventi, li rileggero meglio e ri scrivo dopo aver controllato un attimo di nuovo l'esercizio
certo che a confondersi con queste cose ci vuole un attimo ....
Per il resto ho qualche punto che non ho capito dai vostri interventi, li rileggero meglio e ri scrivo dopo aver controllato un attimo di nuovo l'esercizio
certo che a confondersi con queste cose ci vuole un attimo ....
Allora ho fatto qualche prova e in effetti trovare una legge che dica quali sono le soluzioni è fuoriluogo mi sa, quindi li per li l'unica cosa che mi è venuta in mente è che per verificare se un punto trovato appartiene al campo di esistenza mi basta sostituire il punto a quell'equazione e vedere se la verifica, se la verifica escludo il punto, se non la verifica considero che lo posso prendere e quindi mi libero cosi di quel problema ( sempre che si possa fare cosi ).
quindi il mio campo di esistenza è : $C={$ $RR^2$ $/$$(x,y):|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|=0$$}$ perchè credo non si possa fare altrimenti in questo caso, sarebbe errato scriverlo cosi ?
poi per quanto riguarda la funzione $\phi(t) = t*ln(t)$ ho che presenta quel minimo nel punto $(1/e; \phi(1/e))$
e fin qui credo sia tutto regolare.
Di conseguenza considerando questo discorso sul campo di esistenza, gli altri miei passaggi e calcoli per trovare gli estremi relativi della funzione $t(x,y)$ sono corretti ? perchè di questo non avete parlato.
aspetto repliche
quindi il mio campo di esistenza è : $C={$ $RR^2$ $/$$(x,y):|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|=0$$}$ perchè credo non si possa fare altrimenti in questo caso, sarebbe errato scriverlo cosi ?
poi per quanto riguarda la funzione $\phi(t) = t*ln(t)$ ho che presenta quel minimo nel punto $(1/e; \phi(1/e))$
e fin qui credo sia tutto regolare.
Di conseguenza considerando questo discorso sul campo di esistenza, gli altri miei passaggi e calcoli per trovare gli estremi relativi della funzione $t(x,y)$ sono corretti ? perchè di questo non avete parlato.
aspetto repliche
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