Funzione 2 variabili max e min relativi e assoluti
Salve, sto esercitandomi sugli estremi relativi assoluti e vincolati delle funzioni a due variabili, volevo porvi questo esercizio per togliermi qualche dubbio e per aver certezza di svolgere bene e capire i passaggi grazie 
Il testo dice : Determinare gli estremi relativi della seguente funzione nel suo campo di esistenza
$f (x,y) = |x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$*$ln|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$
cosi la prima cosa è calcolare il campo di esistenza della funzione, ponendo quindi $|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|>0$
deduco a vista che l'unico valore per cui l'espressione non è maggiore di $0$ è per la coppia $(0,0)$ quindi deduco che il campo di esistenza sia $RR^2$$/(0,0)$ e credo fin qui sia ok
poi comincio con il calcolo degli estremi, noto che la funzione posso spezzarla in due funzioni notando che c'è una parte che si ripete nella funzione, quindi decido di dividere la funzione in questo modo :
$t(x,y) = |x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$ e poi $\phi(t) = t*ln(t)$
questo perchè subentra una parte teorica che dice che se verifico la crescenza o decresenza della funzione $\phi$ allora mi basta calcolare gli estremi relativi della funzione $t$ e saranno validi anche per $\phi$, anche se qui vorrei chiedere a qualcuno che sia disponibile a darmi un chiarimento in quanto non ho ben capito questo concetto, ho afferrato l'idea di base ma non ho ben capito il concetto del perchè, diciamo.
Detto questo quindi studio la crescenza della funzione $phi(t)$ che è a una variabile quindi :
$\phi' (t) = 1*ln(t)+t*(1/t)$ e quindi viene $ln(t) + 1$
calcolo ora $\phi'(t) >0$ e quindi ottengo $ln(t)>(-1)$ e quindi $t>1/e$ quindi ho che in $1/e$ ho un minimo per la funzione $phi$ ma mi sorge il dubbio perchè in teoria la funzione logaritmo è una funzione che cresce sempre e quindi mi sfugge qualcosa qua ... se qualcuno mi illumina
Ora passo a studiare la mia funzione $t(x,y) = |x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$
Separo il modulo e quindi studio prima il caso per cui $x^4 + y^4 -2x^2 -2y^2+4xy<0$
$t_x= -4x^3+4x-4y$ mentre $t_y=-4y^3+4y-4x$
mettendole a sistema per trovare i punti critici ho :
$\{(-x^3+x-y=0),(-y^3+y-x=0):}$ risolvendo ottengo 3 punti che sono : $(0,0)$ ; $(sqrt(2),-sqrt(2))$ ; $(-sqrt(2),sqrt(2))$
Scarto subito il punto $(0,0)$ in quando non fa parte del mio campo esistenza e per gli altri due verifico prima se rispettano la condizione $x^4 + y^4 -2x^2 -2y^2+4xy<0$ quando ho diviso il modulo se non sbaglio, e ottengo comunque che soddisfano la disequazione quindi posso prenderli.
Passo cosi a calcolare l'Hessiano :
Le derivate miste e seconde mi vengono : $t_(xy) = -4$ ; $t_(yx)=-4$ , $t_(x,x)= -12x^2+4$ e $t_(yy)=-12y^2+4$
Il determinante dell'Hessiano viene quindi : $(-12x^2+4)(-12y^2+4)-16$ e calcolandomi l'Hessiano per ogni punto trovato prima ottengo che : $H(sqrt(2),-sqrt(2))=384>0$ e che $H(-sqrt(2),sqrt(2))=384>0$
vedo anche che sostituendo i punti alla $t_(x,x)$ ottengo in entrambi i casi $-20<0$
quindi ottengo alla fine che entrambi sono punti di massimo relativo.
per il caso invece del modulo positivo ho$x^4 + y^4 -2x^2 -2y^2+4xy>=0$ e ottengo gli stessi punti di prima che pero non mi soddisfano la condizione del modulo ( visto che non possono gli stessi punti soddisfare contemporaneamente la condizione $>=$ e la condizione $<$ ) quindi questo caso non si considera.
Ora pero mi chiedo ... visto che ho trovato un punto di minimo per la funzione $\phi$ ( anche se ho qualche dubbio che ho esposto sopra infatti ), e che per la funzione $t$ ho trovato due di massimo relativo, come si conclude l'esercizio ? cioè sono tutti e 3 punti da considerare ? cioè alla fine concludo che la funzione ha un punto di minimo relativo e due di massimo ? o c'è qualche ulteriore passaggio da fare ?
L'esercizio ha una seconda parte che chiede di trovare poi gli estremi assoluti ma prima voglio capire se questa prima parte è svolta bene prima di proseguire.
Grazie dell'aiuto
Il testo dice : Determinare gli estremi relativi della seguente funzione nel suo campo di esistenza
$f (x,y) = |x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$*$ln|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$
cosi la prima cosa è calcolare il campo di esistenza della funzione, ponendo quindi $|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|>0$
deduco a vista che l'unico valore per cui l'espressione non è maggiore di $0$ è per la coppia $(0,0)$ quindi deduco che il campo di esistenza sia $RR^2$$/(0,0)$ e credo fin qui sia ok
poi comincio con il calcolo degli estremi, noto che la funzione posso spezzarla in due funzioni notando che c'è una parte che si ripete nella funzione, quindi decido di dividere la funzione in questo modo :
$t(x,y) = |x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$ e poi $\phi(t) = t*ln(t)$
questo perchè subentra una parte teorica che dice che se verifico la crescenza o decresenza della funzione $\phi$ allora mi basta calcolare gli estremi relativi della funzione $t$ e saranno validi anche per $\phi$, anche se qui vorrei chiedere a qualcuno che sia disponibile a darmi un chiarimento in quanto non ho ben capito questo concetto, ho afferrato l'idea di base ma non ho ben capito il concetto del perchè, diciamo.
Detto questo quindi studio la crescenza della funzione $phi(t)$ che è a una variabile quindi :
$\phi' (t) = 1*ln(t)+t*(1/t)$ e quindi viene $ln(t) + 1$
calcolo ora $\phi'(t) >0$ e quindi ottengo $ln(t)>(-1)$ e quindi $t>1/e$ quindi ho che in $1/e$ ho un minimo per la funzione $phi$ ma mi sorge il dubbio perchè in teoria la funzione logaritmo è una funzione che cresce sempre e quindi mi sfugge qualcosa qua ... se qualcuno mi illumina
Ora passo a studiare la mia funzione $t(x,y) = |x^4 + y^4 -2(x-y)^2|$
Separo il modulo e quindi studio prima il caso per cui $x^4 + y^4 -2x^2 -2y^2+4xy<0$
$t_x= -4x^3+4x-4y$ mentre $t_y=-4y^3+4y-4x$
mettendole a sistema per trovare i punti critici ho :
$\{(-x^3+x-y=0),(-y^3+y-x=0):}$ risolvendo ottengo 3 punti che sono : $(0,0)$ ; $(sqrt(2),-sqrt(2))$ ; $(-sqrt(2),sqrt(2))$
Scarto subito il punto $(0,0)$ in quando non fa parte del mio campo esistenza e per gli altri due verifico prima se rispettano la condizione $x^4 + y^4 -2x^2 -2y^2+4xy<0$ quando ho diviso il modulo se non sbaglio, e ottengo comunque che soddisfano la disequazione quindi posso prenderli.
Passo cosi a calcolare l'Hessiano :
Le derivate miste e seconde mi vengono : $t_(xy) = -4$ ; $t_(yx)=-4$ , $t_(x,x)= -12x^2+4$ e $t_(yy)=-12y^2+4$
Il determinante dell'Hessiano viene quindi : $(-12x^2+4)(-12y^2+4)-16$ e calcolandomi l'Hessiano per ogni punto trovato prima ottengo che : $H(sqrt(2),-sqrt(2))=384>0$ e che $H(-sqrt(2),sqrt(2))=384>0$
vedo anche che sostituendo i punti alla $t_(x,x)$ ottengo in entrambi i casi $-20<0$
quindi ottengo alla fine che entrambi sono punti di massimo relativo.
per il caso invece del modulo positivo ho$x^4 + y^4 -2x^2 -2y^2+4xy>=0$ e ottengo gli stessi punti di prima che pero non mi soddisfano la condizione del modulo ( visto che non possono gli stessi punti soddisfare contemporaneamente la condizione $>=$ e la condizione $<$ ) quindi questo caso non si considera.
Ora pero mi chiedo ... visto che ho trovato un punto di minimo per la funzione $\phi$ ( anche se ho qualche dubbio che ho esposto sopra infatti ), e che per la funzione $t$ ho trovato due di massimo relativo, come si conclude l'esercizio ? cioè sono tutti e 3 punti da considerare ? cioè alla fine concludo che la funzione ha un punto di minimo relativo e due di massimo ? o c'è qualche ulteriore passaggio da fare ?
L'esercizio ha una seconda parte che chiede di trovare poi gli estremi assoluti ma prima voglio capire se questa prima parte è svolta bene prima di proseguire.
Grazie dell'aiuto
Risposte
Allora ho fatto qualche prova e in effetti trovare una legge che dica quali sono le soluzioni è fuoriluogo mi sa, quindi li per li l'unica cosa che mi è venuta in mente è che per verificare se un punto trovato appartiene al campo di esistenza mi basta sostituire il punto a quell'equazione e vedere se la verifica, se la verifica escludo il punto, se non la verifica considero che lo posso prendere e quindi mi libero cosi di quel problema ( sempre che si possa fare cosi ).
quindi il mio campo di esistenza è : $C={$ $RR^2$ $/$$(x,y):|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|=0$$}$ perchè credo non si possa fare altrimenti in questo caso, sarebbe errato scriverlo cosi ?
poi per quanto riguarda la funzione $\phi(t) = t*ln(t)$ ho che presenta quel minimo nel punto $(1/e; -1/e)$
e fin qui credo sia tutto regolare.
Questo punto posso prenderlo in quanto sostituendolo a $|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|=0$ trovo che non viene uguale a $0$ quindi è un punto che appartiene al campo di esistenza in teoria per come lo ho definito giusto ?
Di conseguenza considerando questo discorso sul campo di esistenza, gli altri miei passaggi e calcoli per trovare gli estremi relativi della funzione $t(x,y)$ sono corretti ? perchè di questo non avete parlato, cosi almeno capisco se i passaggi che faccio sono corretti, poi per i calcoli si sa che spesso si puo sbagliare pero se almeno il procedimento è giusto diciamo che è gia qualcosa
aspetto repliche
quindi il mio campo di esistenza è : $C={$ $RR^2$ $/$$(x,y):|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|=0$$}$ perchè credo non si possa fare altrimenti in questo caso, sarebbe errato scriverlo cosi ?
poi per quanto riguarda la funzione $\phi(t) = t*ln(t)$ ho che presenta quel minimo nel punto $(1/e; -1/e)$
e fin qui credo sia tutto regolare.
Questo punto posso prenderlo in quanto sostituendolo a $|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|=0$ trovo che non viene uguale a $0$ quindi è un punto che appartiene al campo di esistenza in teoria per come lo ho definito giusto ?
Di conseguenza considerando questo discorso sul campo di esistenza, gli altri miei passaggi e calcoli per trovare gli estremi relativi della funzione $t(x,y)$ sono corretti ? perchè di questo non avete parlato, cosi almeno capisco se i passaggi che faccio sono corretti, poi per i calcoli si sa che spesso si puo sbagliare pero se almeno il procedimento è giusto diciamo che è gia qualcosa
aspetto repliche
"malcon":
Allora ho fatto qualche prova e in effetti trovare una legge che dica quali sono le soluzioni è fuoriluogo mi sa, quindi li per li l'unica cosa che mi è venuta in mente è che per verificare se un punto trovato appartiene al campo di esistenza mi basta sostituire il punto a quell'equazione e vedere se la verifica, se la verifica escludo il punto, se non la verifica considero che lo posso prendere e quindi mi libero cosi di quel problema ( sempre che si possa fare cosi ).
quindi il mio campo di esistenza è : $C={$ $RR^2$ $/$$(x,y):|x^4 + y^4 -2(x-y)^2|=0$$}$ perchè credo non si possa fare altrimenti in questo caso, sarebbe errato scriverlo cosi ?
Ciao Malcon. Il problema non si pone proprio
non troverai mai che un punto che non appartiene al dominio è di max, min o quant'altro... 
Il resto lo leggo bene domani
ora è tardi!
scusa non credo di aver capito bene cosa intendi magari domani riprendiamo bene sto discorso che sto perdendo colpi anche io ormai ...
Buongiorno ragazzi. Stamattina leggendo i vostri post mi è sorto un dubbio sul fatto che possiamo aver confuso la consegna dell'esercizio, quindi scrivo di seguito un piccolo riepilogo ed il mio ragionamento cosicchè possiate confrontarvi e magari vedere se ci sono errori.
Allora: la richiesta dell'esercizio è molto semplice: "Determinare i punti critici della funzione nel suo dominio e classificarli".
Quindi la prima cosa da fare è determinare questo dominio. Come ho già scritto nei post precedenti, il mio ragionamento per determinare questo dominio si risolve con la sostituzione che adesso non sto a riscrivere. Quindi sfruttando le proprietà del valore assoluto giungo alla conclusione che il dominio della funzione $f(t)$ è : $D={t in RR : t!=0}$. Dunque ora posso studiare i punti stazionari di questa funzione nel dominio $D$. Dopo aver fatto i calcoli trovo che la funzione ha un minimo nel punto $t=e^(-1)$. Allora:
@malcon: purtroppo vedo che hai commesos un errore di fondo che risale alle basi di analisi 1. Secondo i teoremi sul calcolo infinitesimale, un punto stazionario è un punto che annulla la funzione derivata, non la funzione, quindi sostituendo il punto stazionario nella funzione di partenza non fai altro che calcolare il punto stazionario $(x_0,y_0)$ nel piano.
Dunque si ottiene il punto $(e^(-1),-e^(-1))$. Questo punto stazionario risulta essere di minimo globale per la funnione $f(t)$, allora risulteerà essere di minimo assoluto anche per la funzione $f(x,y)$ (con certezza, perchè stiamo parlando della stessa funzione, solo che l'abbiamo riscritta in funzione di $t$) giacchè il dominio $D$ della funzione di una variabile è lo stesso per la funzione di due variabili.
Spero di aver chiarito il problema e di essere stato abbastanza chiaro.
Allora: la richiesta dell'esercizio è molto semplice: "Determinare i punti critici della funzione nel suo dominio e classificarli".
Quindi la prima cosa da fare è determinare questo dominio. Come ho già scritto nei post precedenti, il mio ragionamento per determinare questo dominio si risolve con la sostituzione che adesso non sto a riscrivere. Quindi sfruttando le proprietà del valore assoluto giungo alla conclusione che il dominio della funzione $f(t)$ è : $D={t in RR : t!=0}$. Dunque ora posso studiare i punti stazionari di questa funzione nel dominio $D$. Dopo aver fatto i calcoli trovo che la funzione ha un minimo nel punto $t=e^(-1)$. Allora:
@malcon: purtroppo vedo che hai commesos un errore di fondo che risale alle basi di analisi 1. Secondo i teoremi sul calcolo infinitesimale, un punto stazionario è un punto che annulla la funzione derivata, non la funzione, quindi sostituendo il punto stazionario nella funzione di partenza non fai altro che calcolare il punto stazionario $(x_0,y_0)$ nel piano.
Dunque si ottiene il punto $(e^(-1),-e^(-1))$. Questo punto stazionario risulta essere di minimo globale per la funnione $f(t)$, allora risulteerà essere di minimo assoluto anche per la funzione $f(x,y)$ (con certezza, perchè stiamo parlando della stessa funzione, solo che l'abbiamo riscritta in funzione di $t$) giacchè il dominio $D$ della funzione di una variabile è lo stesso per la funzione di due variabili.
Spero di aver chiarito il problema e di essere stato abbastanza chiaro.
"paolotesla91":
Quindi la prima cosa da fare è determinare questo dominio. (1) Come ho già scritto nei post precedenti, il mio ragionamento per determinare questo dominio si risolve con la sostituzione che adesso non sto a riscrivere. Quindi sfruttando le proprietà del valore assoluto (2) giungo alla conclusione che il dominio della funzione $f(t)$ è : $D={t in RR : t!=0}$. Dunque ora posso studiare i punti stazionari di questa funzione nel dominio $D$. Dopo aver fatto i calcoli trovo che la funzione ha un minimo nel punto $t=e^(-1)$. Allora:
[...]
Dunque si ottiene il punto $(e^(-1),-e^(-1))$. Questo punto stazionario risulta essere di minimo globale per la funnione $f(t)$, allora risulteerà essere di minimo assoluto anche per la funzione $f(x,y)$ (3) (con certezza, perchè stiamo parlando
Buongiorno Paolo
(1) No. Ci siamo persi in chiacchiere prima...è "inutile" determinare il dominio se lo scopo è quello di cercare i punti stazionari di $f$. Mi spiego meglio. Prendiamo la funzione $g=1/(1-x^2)$ e supponiamo di non sapere che $g$ ha massimi, minimi, flessi e tutto il resto: supponiamo di non conoscere il grafico e l'andamento di $g$. Ci mettiamo a cercare i punti stazionari di $g$. Di sicuro i punti che troveremo non saranno $x=\pm 1$, poichè questi non appartengono al campo d'esistenza.
(2) Io sto discorso del valore assoluto ancora non l'ho capito...per come la vedo io, non fa altro che rompere le scatole
(3) Non so come tu abbia trovato il punto $(e^(-1),-e^(-1))$, ma io procederei cosi, supponendo di prendere per buono il tuo procedimento:
studio $g(t)=|t|\ln|t|$ e trovo i punti stazionari $t_1,...,t_n$. Se $g(t)$ ha un massimo/minimo/flesso per $t=t_i$, allora $f(x,y)$ avrà un massimo/minimo/flesso in $(x_i,y_i)$, cioè in quel punto le cui coordinate soddisfano l'equazione
\[x^4+y^4-2(x-y)^2=t_i\]
Io trovo che si possa fare questo, ma probabilmente c'è una strada più semplice...
Plepp è quello che sto cercando di dirti da almeno 5 post xD. Poi:
(1) No. Ci siamo persi in chiacchiere prima...è "inutile" determinare il dominio se lo scopo è quello di cercare i punti stazionari di $f$. Mi spiego meglio. Prendiamo la funzione $g=1/(1-x^2)$ e supponiamo di non sapere che $g$ ha massimi, minimi, flessi e tutto il resto: supponiamo di non conoscere il grafico e l'andamento di $g$. Ci mettiamo a cercare i punti stazionari di $g$. Di sicuro i punti che troveremo non saranno $x=\pm 1$, poichè questi non appartengono al campo d'esistenza.
Non è inutile determinare il dominio. E' quello che ti chiede l'esercizio. E poi poche righe dopo ti sei smentito perchè l'hai fatto.
(2) Io sto discorso del valore assoluto ancora non l'ho capito...per come la vedo io, non fa altro che rompere le scatole
Senti più chiaro degli esempi non so come farti capire.
Per il resto ho proceduto normalmente come si procede con le funzioni reali di variabile reale. Così ho trovato il punto stazionario $(e^(-1),-e^(-1))$. Quello è il punto che come tu hai scritto verifica quella equazione.
Mi sono spiegato ora?
(1) No. Ci siamo persi in chiacchiere prima...è "inutile" determinare il dominio se lo scopo è quello di cercare i punti stazionari di $f$. Mi spiego meglio. Prendiamo la funzione $g=1/(1-x^2)$ e supponiamo di non sapere che $g$ ha massimi, minimi, flessi e tutto il resto: supponiamo di non conoscere il grafico e l'andamento di $g$. Ci mettiamo a cercare i punti stazionari di $g$. Di sicuro i punti che troveremo non saranno $x=\pm 1$, poichè questi non appartengono al campo d'esistenza.
Non è inutile determinare il dominio. E' quello che ti chiede l'esercizio. E poi poche righe dopo ti sei smentito perchè l'hai fatto.
(2) Io sto discorso del valore assoluto ancora non l'ho capito...per come la vedo io, non fa altro che rompere le scatole
Senti più chiaro degli esempi non so come farti capire.
Per il resto ho proceduto normalmente come si procede con le funzioni reali di variabile reale. Così ho trovato il punto stazionario $(e^(-1),-e^(-1))$. Quello è il punto che come tu hai scritto verifica quella equazione.
Mi sono spiegato ora?
salve ragazzi sono solo di passaggio al momento ma volevo dire :
a paolo : i punti che trovi per la ufnzione $\phi$ sono gli stessi che trovo io, infatti $(e^(-1),-e^(-1))$ altro non è che $(1/e,-1/e)$
poi il mio discorso sul sostituire alla funzione ( che poi non è proprio alla funzione che sistituisco ma alla condizione sul campo di esistenza come l'ho definito sopra ) era per un semplice motivo, vediamo se ci capiamo.
Noi sappiamo che il dominio è fatto da tutti i punti tranne quelli per cui $|x^4 + y^4 -2(x-y)^2| =0$, che non è altro che $t=0$ con le sostituzioni che abbiamo fatto, quindi come faccio io a capire se un generico punto trovato, esempio $(x_0,y_0)$ appartiene al campo di esistenza oppure è da escludere ? facile ... sostituendolo proprio a quella equazione no ? se la risolve vuol dire che rientra tra i punti che devo escludere e quindi va scartato, se non risolve quella equazione vuol dire che lo posso prendere in quanto appartiene al dominio e non è tra i punti che ho escluso, non so se sono riuscito ora a spiegarmi in quello che intendevo. se poi è sbagliato allora spiegatemi come faccio a capire se un generico punto che trovo appartiene o meno al dominio ecco
per il resto ho capito che trovando quel minimo nella funzione $\phi$ vale anche per l'altra in quello sei stato abbastanza chiaro, ma allora la funzione in due variabili la lasciamo li ? non si devono trovare gli estremi relativi anche per quella ? almeno negli esercizi che finora abbiamo fatto è stato sempre cosi. o magari mi sfugge qualche concetto di base, puo essere.
a paolo : i punti che trovi per la ufnzione $\phi$ sono gli stessi che trovo io, infatti $(e^(-1),-e^(-1))$ altro non è che $(1/e,-1/e)$
poi il mio discorso sul sostituire alla funzione ( che poi non è proprio alla funzione che sistituisco ma alla condizione sul campo di esistenza come l'ho definito sopra ) era per un semplice motivo, vediamo se ci capiamo.
Noi sappiamo che il dominio è fatto da tutti i punti tranne quelli per cui $|x^4 + y^4 -2(x-y)^2| =0$, che non è altro che $t=0$ con le sostituzioni che abbiamo fatto, quindi come faccio io a capire se un generico punto trovato, esempio $(x_0,y_0)$ appartiene al campo di esistenza oppure è da escludere ? facile ... sostituendolo proprio a quella equazione no ? se la risolve vuol dire che rientra tra i punti che devo escludere e quindi va scartato, se non risolve quella equazione vuol dire che lo posso prendere in quanto appartiene al dominio e non è tra i punti che ho escluso, non so se sono riuscito ora a spiegarmi in quello che intendevo. se poi è sbagliato allora spiegatemi come faccio a capire se un generico punto che trovo appartiene o meno al dominio ecco
per il resto ho capito che trovando quel minimo nella funzione $\phi$ vale anche per l'altra in quello sei stato abbastanza chiaro, ma allora la funzione in due variabili la lasciamo li ? non si devono trovare gli estremi relativi anche per quella ? almeno negli esercizi che finora abbiamo fatto è stato sempre cosi. o magari mi sfugge qualche concetto di base, puo essere.
Aaaaahhhh. Ora si. Scusami allora avevo capito male io, credevo che intendessi sostituire il punto nella funzione di partenza, ora si ci capiamo. Si il tuo ragionamento è giusto, infatti hai che quel punto sta nel dominio per cui sei in regola .
Ti ho gia detto che gli estremi realtivi non ci sono perchè l'unico punto stazionario è $(e^(-1),-e^(-1))$ e risulta di minimo, ed essendo l'unico putno allora questo sarà minimo assoluto.
.Ti ho gia detto che gli estremi realtivi non ci sono perchè l'unico punto stazionario è $(e^(-1),-e^(-1))$ e risulta di minimo, ed essendo l'unico putno allora questo sarà minimo assoluto.
"paolotesla91":
Non è inutile determinare il dominio. E' quello che ti chiede l'esercizio. E poi poche righe dopo ti sei smentito perchè l'hai fatto.
E dov'è che viene chiesto!?
il fatto che si dica "calcolare .... nel suo dominio" (=nel suo campo d'esistenza) implica solo il fatto che non dobbiamo preoccuparci di studiare la funzione alla frontiera di un eventuale dominio $K$. In altre parole, "nel suo dominio"$=$"questo non è un esercizio di calcolo dei cosiddetti estremi vincolati".
"malcon":
quindi come faccio io a capire se un generico punto trovato, esempio $(x_0,y_0)$ appartiene al campo di esistenza oppure è da escludere ?
Il tuo ragionamento non fa una piega malcon, ma è superfluo. Se tu trovi, ad esempio, che il punto $P$ è di massimo per $f$ (supponiamo di non sapere se questo appartiene al campo d'esistenza $X$ o no) è CHIARO che $P\in X$!! quindi non è necessario controllare un tubero
"paolotesla91":
Ti ho gia detto che gli estremi realtivi non ci sono perchè l'unico punto stazionario è $(e^(-1),-e^(-1))$ e risulta di minimo, ed essendo l'unico putno allora questo sarà minimo assoluto.
Perdonami paolo, ma questa è un'eresia
suppongo sia una svista Tra l'altro, supponiamo che $t_0$ sia un massimo/minimo/flesso per $g(t)$. Allora $(x,y)$ è punto di massimo per $f(x,y)$ se
\[x^4+y^4-2(x-y)^2=t_0 \qquad (1)\]
come abbiamo già detto. E chi ci assicura che quell'equazione abbia una sola soluzione $(x,y)$?????? Mettiamo, ad esempio, che la $(1)$ fosse stata la seguente
\[x^2+y^2=t_0\]
Come ben sai questa equazione rappresenta una circonferenza (se $t_0>0$), e pertanto ha infinite soluzioni $(x,y)$.
Per il resto, mi pare che, finalmente, ci siamo capiti xD
Scusami Plepp hai ragione, in realtà dopo aver fatto la sostituzione ho completamente dimenticato che alla variabile $t$ corrisponde un equazione e non un punto. Chiedo scusa xD! Comunque si per il resto ci siamo capiti
@malcon: scusa malcon mi correggo, in realtà i punti di minio sono i punti che verificano queste equazioni:
$(1): x^4+y^4-2(x-y)^2=e^(-1)$
$(2): x^4+y^4-2(x-y)^2=-e^(-1)$
che sono due curve di minimi. E' difficile determinarle a causa dell'espressione dell'equazione, ma se provi a disegnarli con Derive puoi vedere di che curve si tratta.
@malcon: scusa malcon mi correggo, in realtà i punti di minio sono i punti che verificano queste equazioni:
$(1): x^4+y^4-2(x-y)^2=e^(-1)$
$(2): x^4+y^4-2(x-y)^2=-e^(-1)$
che sono due curve di minimi. E' difficile determinarle a causa dell'espressione dell'equazione, ma se provi a disegnarli con Derive puoi vedere di che curve si tratta.
Ok ora ci troviamo Paolo ehh sembra fetente st'esercizio...però sono convinto che abbiamo sbagliato strada, probabilmente c'è un modo piu semplice (e anche piu ebete )
PS: @paolo: comunque l'eresia non era questa (oddio, lo era comunque, ma non cosi tanto clamorosa xD ) ma questa:
Non è vero (palesemente) che se una funzione ha solo un minimo, questo è il minimo assoluto.
ehh sembra fetente st'esercizio...però sono convinto che abbiamo sbagliato strada, probabilmente c'è un modo piu semplice (e anche piu ebete )PS: @paolo: comunque l'eresia non era questa
(oddio, lo era comunque, ma non cosi tanto clamorosa xD ) ma questa:"paolotesla91":
...ed essendo l'unico putno allora questo sarà minimo assoluto.
Non è vero (palesemente) che se una funzione ha solo un minimo, questo è il minimo assoluto.
mmm finalmente credo che siamo arrivati a una conclusione xD era anche ora hehe provero ad andare avanti e vi faccio sapere ^^
provero ad andare avanti e vi faccio sapere ^^
eccomi anche se con ritardo ... alla fine ho chiesto ieri alla prof e mi ha consigliato che in questo caso basta lasciare scritta la forma cosi come l'abbiamo trovata noi alla fine senza cercare di calcolarli i punti e che va bene lo stesso quindi diciamo che finisce li ...
grazie degli aiuti
grazie degli aiuti
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