Funzionamento formula risolutiva ODE
Sappiamo tutti che se ho una equazione differenziale lineare del tipo $y'+p(x)\cdot y= q(x)$, la soluzione sarà del tipo $y(x)=e^{-\int_{x_0}^{x} p(t)dt} \cdot (y_0 + \int_{x_0}^{x} q(t) \cdot e^{\int_{x_0}^{t} p(s)ds} dt )$ e sappiamo che funziona perchè basta metterla dentro nell'equazione differenziale.
Quello che vorrei sapere è: quale ragionamento è stato fatto per arrivare a questa soluzione? C'è qualche testo che lo spiega?
Quello che vorrei sapere è: quale ragionamento è stato fatto per arrivare a questa soluzione? C'è qualche testo che lo spiega?
Risposte
Metodo di variazione della costante
Ma, non è che ci voglia granché...
Supponiamo di voler risolvere il P.d.C.:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) + p(x)\ y(x) = q(x)\\
y(x_0) = y_0
\end{cases}\; .
\]
Moltiplicando e dividendo m.a.m. la EDO per $e^{\int_{x_0}^x p(t) " d"t} $ si ottiene al primo membro la derivata del prodotto $e^{\int_{x_0}^x p(t) " d"t} y(x)$ e si riscrive la EDO come:
\[
\left( e^{\int_{x_0}^x p(t)\ \text{d} t}\ y(x)\right)^\prime = e^{\int_{x_0}^x p(t)\ \text{d} t}\ q(x)
\]
(questo metodo si chiama risoluzione mediante fattore integrante); a questo punto il P.d.C. si risolve sfruttando il TFCI, poiché è un problema di ricerca di una primitiva: si trova:
\[
\int_{x_0}^x \left( e^{\int_{x_0}^t p(\tau)\ \text{d} \tau}\ y(t)\right)^\prime\ \text{d} t = \int_{x_0}^x e^{\int_{x_0}^x p(t)\ \text{d} t}\ q(t)\ \text{d} t
\]
da cui segue:
\[
e^{\int_{x_0}^x p(t)\ \text{d} t} y(x) - y_0 = \int_{x_0}^x e^{\int_{x_0}^x p(t)\ \text{d} t}\ q(t)\ \text{d} t\; ;
\]
da quest'ultima formula si ricava quanto si voleva provare.
Supponiamo di voler risolvere il P.d.C.:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) + p(x)\ y(x) = q(x)\\
y(x_0) = y_0
\end{cases}\; .
\]
Moltiplicando e dividendo m.a.m. la EDO per $e^{\int_{x_0}^x p(t) " d"t} $ si ottiene al primo membro la derivata del prodotto $e^{\int_{x_0}^x p(t) " d"t} y(x)$ e si riscrive la EDO come:
\[
\left( e^{\int_{x_0}^x p(t)\ \text{d} t}\ y(x)\right)^\prime = e^{\int_{x_0}^x p(t)\ \text{d} t}\ q(x)
\]
(questo metodo si chiama risoluzione mediante fattore integrante); a questo punto il P.d.C. si risolve sfruttando il TFCI, poiché è un problema di ricerca di una primitiva: si trova:
\[
\int_{x_0}^x \left( e^{\int_{x_0}^t p(\tau)\ \text{d} \tau}\ y(t)\right)^\prime\ \text{d} t = \int_{x_0}^x e^{\int_{x_0}^x p(t)\ \text{d} t}\ q(t)\ \text{d} t
\]
da cui segue:
\[
e^{\int_{x_0}^x p(t)\ \text{d} t} y(x) - y_0 = \int_{x_0}^x e^{\int_{x_0}^x p(t)\ \text{d} t}\ q(t)\ \text{d} t\; ;
\]
da quest'ultima formula si ricava quanto si voleva provare.
"Berker":
Quello che vorrei sapere è: quale ragionamento è stato fatto per arrivare a questa soluzione? C'è qualche testo che lo spiega?
L'idea del fattore di integrazione parte dalla nota formula della derivata di un prodotto di funzioni:
$[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ (1)
L'idea è prendere l'equazione differenziale e chiedersi se esista una funzione M(x) (fattore di integrazione) tale che:
$M(x)q(x)=[M(x)y(x)]'$
Supponendo che esista, allora (moltiplicando ambo i membri per M(x) ) la nostra eq. differenziale diventa:
$M(x)q(x)=[M(x)y(x)]'=M(x)y'(x)+M(x)p(x)y(x)$ (2)
Comparala con la (1), quindi $f(x)=y(x)$ e, in particolare, $g(x)=M(x)$ e $g'(x)=M(x)p(x)$
Quindi deve valere la relazione $M'(x)=(dM(x))/dx=M(x)p(x)$ che è una semplice eq. diff. separabile da cui puoi facilmente ricavare la forma/soluzione che deve avere il fattore di integrazione M(x) per far funzionare il giochino, ovvero:
$M(x)=e^{\int_{0}^{x} p(t)dt} + C$ ma dato che ce ne basta una sola di soluzione poniamo C=0.
Adesso che abbiamo trovato M(x), basta sostituirlo nella $[M(x)y(x)]'=M(x)y'(x)+M(x)p(x)y(x)$, poi integrare ambo i membri, semplificare per isolare y(x) e ottieni la formuletta che hai scritto.
Solo un piccolo post scriptum utile.
Quando farai i tuoi calcoli per derivare la formula, ti troverai anche con un M(0)y(0).
Quindi faccio notare che $M(0)=e^{\int_{0}^{0} p(t)dt} =e^0=1$
Ergo $M(0)y(0)=y(0)$
Quando farai i tuoi calcoli per derivare la formula, ti troverai anche con un M(0)y(0).
Quindi faccio notare che $M(0)=e^{\int_{0}^{0} p(t)dt} =e^0=1$
Ergo $M(0)y(0)=y(0)$
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