Funzionale "anomalo"
Sia $H$ uno spazio di Hilbert; si costruisca un esempio di funzionale $F : H \to \RR$ continuo su tutto $H$ e che sia illimitato sulla palla $B_1(0)$.
Risposte
"Luca.Lussardi":
Sia $H$ uno spazio di Hilbert; si costruisca un esempio di funzionale $F : H \to \RR$ continuo su tutto $H$ e che sia illimitato sulla palla $B_1(0)$.
Ci riprovo con un'ida molto più semplice di quella che avevo all'inizio.
Siano $n in NN-{0}$ e $f:RR^n rarr RR,quad x\mapsto |x|^(1/n)$.
La $f$ è di classe $C^(oo)(RR^n-{0})$ ed ha derivate parziali prime non limitate intorno a $0$, cosicchè essa non è lipschtziana in alcun intorno di $0$.
Ne consegue che $f$, riguardato come funzionale sullo spazio di Hilbert $RR^n$, è sì continuo ma non può essere limitato in $B(0;1)$.
Ci ho preso?
ma in spazi di Banach non c'è l'equivalenza fra continuità e limitatezza?
"ubermensch":
ma in spazi di Banach non c'è l'equivalenza fra continuità e limitatezza?
C'è se i funzionali sono lineari, se non lo sono credo proprio di no.
... ehm... forse avete ragione... avendo studiato soltanto l'analisi funzionale lineare ho sempre creduto che la parola "funzionale" inglobasse in sè la linearità.
Per esempio, semplicemente, la funzione da $RR$ ad $RR$ :
$F(x) = sqrt(|x|)$ ?
$F(x) = sqrt(|x|)$ ?
gugo82: purtroppo no, non ci hai preso, e si vede subito poichè hai preso $H=\RR^n$. Se $F$ fosse lineare avrebbe ragione ubermensch, dovrebbe essere anche limitato sui limitati, quindi per forza $F$ non sarà lineare. Ma c'è di più: $F$, continuo su tutto $H$, deve essere continuo sulla chiusura di $B_1(0)$ che è chiuso e limitato; se quindi $H$ è di dimensione finita per il Th di Weierstrass $F$ è limitato su $B_1(0)$. Morale: non avete speranza alcuna se $H$ ha dimensione finita.
Scusa, Luca, ma cosa si deve intendere per "funzionale illimitato" ?
Lo si deve considerare come operatore o si deve guardare semplicmente se l'insieme $F(x)$ è limitiato o no ?
Nel primo caso, deve valere :
$||F(x)|| <= M||x||$
per ogni $x$ e per un certo $M$ (perchè l'operatore sia limitato ...). Giusto ?
Allora, in questo caso, la radice della norma dovrebbe costituire un esempio di operatore non limitato ... giusto ?
Lo si deve considerare come operatore o si deve guardare semplicmente se l'insieme $F(x)$ è limitiato o no ?
Nel primo caso, deve valere :
$||F(x)|| <= M||x||$
per ogni $x$ e per un certo $M$ (perchè l'operatore sia limitato ...). Giusto ?
Allora, in questo caso, la radice della norma dovrebbe costituire un esempio di operatore non limitato ... giusto ?
Deve essere illimitato sulla palla $B_1(0)$; la funzione $\sqrt{|x|}$ è limitata su $(-1,1)$. La disuguaglianza che hai scritto è la limitatezza locale di un operatore, che equivale alla continuità se l'operatore è lineare.
Ok ! Allora si deve avere dimensione infinita.
Un'idea, al volo, prima di andare a fare la spesa ...
Un esempio in $L^2$. Il funzionale che mi dà l'integrale della derivata ...
Un'idea, al volo, prima di andare a fare la spesa ...
Un esempio in $L^2$. Il funzionale che mi dà l'integrale della derivata ...
Come definisci la derivata in $L^2$?
Pensavo ad $L^2$ definito per funzioni da $[0,1]$ ad $R$ con l'usuale derivata ...
Mentre facevo la spesa (e qualcuno stava passandomi davanti ...) ho pensato che ci vorrebbe una restrizione di $L^2$ che sia ancora Hilbert ed in modo che le derivate siano ancora a quadrato sommabile ... ma mi son perso nei ragionamenti (essendomi intrufolato in un campo non mio ...).
Mentre facevo la spesa (e qualcuno stava passandomi davanti ...) ho pensato che ci vorrebbe una restrizione di $L^2$ che sia ancora Hilbert ed in modo che le derivate siano ancora a quadrato sommabile ... ma mi son perso nei ragionamenti (essendomi intrufolato in un campo non mio ...).
$W^{1,2}$ è quello che fa al caso tuo; qui dentro, per definizione, la derivata distribuzionale è una funzione e sta anch'essa in $L^2$.
Questa linea di ragionamenti risolve quindi il problema iniziale ?
Intuivo istintivamente che ci volessero Sobolev & c. ... però mi mancano i fondamentali e mi fermo qui ... se questa è una strada giusta mi basta di averla intuita ...
ps. mi piace l'idea che a fare della matematica ci voglia ragione ma anche istinto, intuizione, sentimento ...
Intuivo istintivamente che ci volessero Sobolev & c. ... però mi mancano i fondamentali e mi fermo qui ... se questa è una strada giusta mi basta di averla intuita ...
ps. mi piace l'idea che a fare della matematica ci voglia ragione ma anche istinto, intuizione, sentimento ...
Mi sa che la cosa non torna però, almeno se usi l'integrale della derivata; se sei in $W^{1,2}(0,1)$ e prendi, per ragioni di sommabilità giusta, il funzionale
$F(u)=\int_0^1|u'|^2 dx$ allora esso è continuo rispetto alla norma $||u||^2=||u||_2^2+||u'||_2^2$ ma essendo $F(u)\leq ||u||$ avresti che $F$ è limitato sui limitati.
La soluzione che ho in mente io non è esattamente questa, e per altro è più astratta (e aggiungo che mi è stata suggerita) poichè funziona in uno spazio di Hilbert generico; mi interessa vedere se qualcuno ne trova una più semplice.
$F(u)=\int_0^1|u'|^2 dx$ allora esso è continuo rispetto alla norma $||u||^2=||u||_2^2+||u'||_2^2$ ma essendo $F(u)\leq ||u||$ avresti che $F$ è limitato sui limitati.
La soluzione che ho in mente io non è esattamente questa, e per altro è più astratta (e aggiungo che mi è stata suggerita) poichè funziona in uno spazio di Hilbert generico; mi interessa vedere se qualcuno ne trova una più semplice.
Altra idea ...
Cancellato !!
Cancellato !!
Deve aver qualcosa a che fare con l'esistenza di basi di cardinalità infinita, me lo sento... ci riprovo così, supponendo per comodità di avere una base numerabile (caso di $H=l^2$ ad esempio).
Fissiamo una base ortonormale $(e_n)$ di $H$, cosicchè $AA n in NN,quad e_nin barB(0;1)$.
L'idea è la seguente: innanzitutto costruire un funzionale $f$ su $(e_n)$ in modo che $(f(e_n))$ sia una successione crescente ed illimitata; estendere in qualche modo il funzionale a $H$ (che si potrebbe fare prolungandolo dapprima sull'insieme delle combinazioni lineari di $(e_n)$ e poi a tutto $H$); infine constatare che si ha $lim_n|f(e_n)|/||e_n||=+oo$ cosicchè $f$ non è limitato...
La cosa importante è provare che tutto ciò si possa fare in modo che $f$ risulti continuo.
Come sono andato stavolta, prof.?
Fissiamo una base ortonormale $(e_n)$ di $H$, cosicchè $AA n in NN,quad e_nin barB(0;1)$.
L'idea è la seguente: innanzitutto costruire un funzionale $f$ su $(e_n)$ in modo che $(f(e_n))$ sia una successione crescente ed illimitata; estendere in qualche modo il funzionale a $H$ (che si potrebbe fare prolungandolo dapprima sull'insieme delle combinazioni lineari di $(e_n)$ e poi a tutto $H$); infine constatare che si ha $lim_n|f(e_n)|/||e_n||=+oo$ cosicchè $f$ non è limitato...
La cosa importante è provare che tutto ciò si possa fare in modo che $f$ risulti continuo.
Come sono andato stavolta, prof.?
Sì, è la stessa soluzione che ho in mente io, e la cosa si fa: basta definire $F(e_n)=n$ e poi farlo scendere in modo affine a zero fino al bordo di piccole palle centrate in $e_n$, tutte disgiunte. Questo è solo un cenno, poi se uno vuole formalizza la costruzione.
P.S. Non sono un prof.
P.S. Non sono un prof.
"Luca.Lussardi":
basta definire $F(e_n)=n$ e poi farlo scendere in modo affine a zero fino al bordo di piccole palle centrate in $e_n$, tutte disgiunte.
Con "in modo affine" suppongo che tu intenda una cosa del genere: $AA x in B(e_n;r),quad f(x)=n-n/r||x-e_n||$ ($0
P.S.:
"Luca.Lussardi":
P.S. Non sono un prof.
Sorry... Ma non lo dire così piccato, che mi fai star male.
Lo estendiamo con 0, tanto lo facciamo scendere a 0 fino al bordo delle palle.
"Luca.Lussardi":
Lo estendiamo con 0, tanto lo facciamo scendere a 0 fino al bordo delle palle.
E questa pure è giusta. Non ci avevo pensato.
La continuità c'è per ovvie ragioni, l'illimitatezza pure; e, come logico che sia, il funzionale così costruito non è lineare.
Brav, brav
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