Funzionale "anomalo"
Sia $H$ uno spazio di Hilbert; si costruisca un esempio di funzionale $F : H \to \RR$ continuo su tutto $H$ e che sia illimitato sulla palla $B_1(0)$.
Risposte
E se $H$, pur avendo dimensione infinita, non fosse separabile ? Allora non si avrebbe l'equivalenza con $l^2$ ...
Come potrebbero andare le cose in questo terzo ed ultimo caso ?
Il funzionale descritto sopra costituisce un bellissimo esempio (molto didattico !) su come l'abitudine, ereditata lavorando su $R^n$, di considerare funzionali continui su insiemi limitati e chiusi sempre limitati sia in verità sbagliata.
Sarebbe bello conoscere altri esempi di funzionali continui su insiemi limitati e chiusi che non siano limitati ...
Come potrebbero andare le cose in questo terzo ed ultimo caso ?
Il funzionale descritto sopra costituisce un bellissimo esempio (molto didattico !) su come l'abitudine, ereditata lavorando su $R^n$, di considerare funzionali continui su insiemi limitati e chiusi sempre limitati sia in verità sbagliata.
Sarebbe bello conoscere altri esempi di funzionali continui su insiemi limitati e chiusi che non siano limitati ...
Se non esiste una base ortonormale numerabile sinceramente non so come si potrebbe procedere. Forse se non esiste è perchè ve ne è una con una potenza superiore, quindi basta prenderne una parte numerabile...?
Sì, dovrebbe funzionare perchè la distanza fra due vettori della base ortonormale, qualunque sia la sua potenza, è sempre $sqrt(2)$ ...
ps. mi rimane un dubbio a monte. Come è possibile decomporre un vettore di $H$ se la base ortonormale è per esempio continua ? La sommatoria diventa un integrale ? In meccanica quantistica lo si fa di regola ... (chiedo scusa se sono andato fuori tema, ma le cose si collegano un po' tutte ...)
ps. mi rimane un dubbio a monte. Come è possibile decomporre un vettore di $H$ se la base ortonormale è per esempio continua ? La sommatoria diventa un integrale ? In meccanica quantistica lo si fa di regola ... (chiedo scusa se sono andato fuori tema, ma le cose si collegano un po' tutte ...)
"arriama":
ps. mi rimane un dubbio a monte. Come è possibile decomporre un vettore di $H$ se la base ortonormale è per esempio continua ? La sommatoria diventa un integrale ? In meccanica quantistica lo si fa di regola ... (chiedo scusa se sono andato fuori tema, ma le cose si collegano un po' tutte ...)
Se consideri $L^2[-\pi,\pi]$ hai una base formata dai vari $cos(nx)$ e $sin(nx)$ e puoi decomporre una funzione usando la serie di Fourier.
Passando ad $L^2[-\infty,+infty]$ la base diventa continua e la decomposizione è data dall'integrale di Fourier.
In meccanica quantistica c'è l'ulteriore problema che si considerano anche funzioni che non appartengono ad $L^2[-\infty,+infty]$, ad esempio le autofunzioni dell'impulso nella base della posizione $u_p(x)=1/sqrt(2\pih)e^(ipx/(h))$ che non sono a quadrato sommabile. Per trattare in maniera rigorosa questi oggetti bisogna considerare uno spazio di Hilbert allargato.
"Luca.Lussardi":
Se non esiste una base ortonormale numerabile sinceramente non so come si potrebbe procedere. Forse se non esiste è perchè ve ne è una con una potenza superiore, quindi basta prenderne una parte numerabile...?
Luca questo da te non me l'aspettavo!
Però ci hai preso: ogni spazio di Hilbert è isomorfo a un $l^2$ su un un insieme di cui conta solo la cardinalità (cioè due spazi di Hilbert che si realizzano come spazi $l^2$ su un insieme con la stessa cardinalità sono isomorfi. La cardinalità è detta dimensione hilbertiana. Forse è meglio chiarire la definizione
sia $A$ un insieme qualsiasi $l^2(A)$ è l'insieme delle funzioni da $A$ in $CC$ tali che $\sum_{a\inA}|f(a)|^2<\infty$. Dotato delle operazioni puntuali e della forma sesquilineare $(f,g)=\sum_{a\inA}\bar{f(a)}g(a)$. Da notare che le somme sono definite come sup delle somme finite o equivalentemente come limite nel senso delle successioni generalizzate delle somme parziali. Tuttavia si può notare anche che ci si può ricondurre alle serie ordinarie, osservando che la cardinalità del sottoinsieme di $A$ per cui $f(a)\ne0$ è comunque numerabile.
Sì, il passaggio al limite fatto in maniera "empirico" da $L^2([-\pi,\pi])$ a $L^2(R)$ mi è chiaro (da fisico) ...
Però le funzioni $e^{i \omega t}$ che ne derivano come base di $L^2(R)$ non mi sembrano ortonormali nel senso rigoroso del termine ...
Questo dubbio mi perseguita da una vita ...
In altre parole, $L^2(R)$ ha sicuramente una base ortonormale numerabile (o no ?) quindi, per un noto teorema (per gli spazi di Hilbert), ogni altra base ortonormale dovrebbe avere la stessa cardinalità !!
Che senso ha, allora, parlare di base continua per $L^2(R)$ ?
Scusate per la nebbia che ho in testa ...
Però le funzioni $e^{i \omega t}$ che ne derivano come base di $L^2(R)$ non mi sembrano ortonormali nel senso rigoroso del termine ...
Questo dubbio mi perseguita da una vita ...
In altre parole, $L^2(R)$ ha sicuramente una base ortonormale numerabile (o no ?) quindi, per un noto teorema (per gli spazi di Hilbert), ogni altra base ortonormale dovrebbe avere la stessa cardinalità !!
Che senso ha, allora, parlare di base continua per $L^2(R)$ ?
Scusate per la nebbia che ho in testa ...
Tento una sintesi.
Da una parte c'è la teoria degli spazi di Hilbert, poi c'è l'analisi di Fourier nel finito e nell'infinito. Poi c'è la teoria della distribuzioni (con l'uso della delta di Dirac).
Queste tre teorie si "intersecano" in qualche modo qua e là ...
I quantistici usano, a secondo dei vari operatori (posizione, impulso, energia ecc.), indifferentemente le suddette teorie passando dall'una all'altra con un certo pragmatismo ... che però ha fatto sì che io potessi scrivere questo messaggio ...
Da una parte c'è la teoria degli spazi di Hilbert, poi c'è l'analisi di Fourier nel finito e nell'infinito. Poi c'è la teoria della distribuzioni (con l'uso della delta di Dirac).
Queste tre teorie si "intersecano" in qualche modo qua e là ...
I quantistici usano, a secondo dei vari operatori (posizione, impulso, energia ecc.), indifferentemente le suddette teorie passando dall'una all'altra con un certo pragmatismo ... che però ha fatto sì che io potessi scrivere questo messaggio ...
"anonymous_af8479":
Sì, il passaggio al limite fatto in maniera "empirico" da $L^2([-\pi,\pi])$ a $L^2(R)$ mi è chiaro (da fisico) ...
Però le funzioni $e^{i \omega t}$ che ne derivano come base di $L^2(R)$ non mi sembrano ortonormali nel senso rigoroso del termine ...
Questo dubbio mi perseguita da una vita ...
In altre parole, $L^2(R)$ ha sicuramente una base ortonormale numerabile (o no ?) quindi, per un noto teorema (per gli spazi di Hilbert), ogni altra base ortonormale dovrebbe avere la stessa cardinalità !!
Che senso ha, allora, parlare di base continua per $L^2(R)$ ?
Scusate per la nebbia che ho in testa ...
Ho consultato un libro di metodi matematici per la fisica in cui dice che $L^2(\RR)$ è separabile ed ha quindi ha una base numerabile (ad esempio i polinomi di Hermite).
Mi vengono allora una serie di dubbi che si sommano a quelli di arrigo.
Dal momento che la base è numerabile non si dovrebbe poter scrivere $u\inL^2(\RR)$ come $u=\sum_(n=0)^(\infty)$$\langlee_n,u\ranglee_n$, ovvero come nel caso della serie di Fourier?
Inoltre visto che il teorema di Stone-Weierstrass vale sui compatti come potrei eventualmente affermare che i polinomi trigonometrici sono una base numerabile per questo spazio?
Spero che qualche esperto possa chiarire questi dubbi a noi poveri fisici.
Sì, se hai una base numerabile lo sviluppo in serie di Fourier astratta lo hai ancora ovviamente. Per quanto riguarda i polinomi trigonometrici non credo che essi formino ancora un denso in $L^2(\RR)$, ma devo controllare.
"Luca.Lussardi":
Sì, se hai una base numerabile lo sviluppo in serie di Fourier astratta lo hai ancora ovviamente. Per quanto riguarda i polinomi trigonometrici non credo che essi formino ancora un denso in $L^2(\RR)$, ma devo controllare.
magari troncandoli opportunamente possono costituire un denso (e ad occhio direi di si)... ma senza troncarli non sono nemmeno L^2...
lo dico perchè nei post precedenti mi pareva che non si considerasse questa cosa... e ci tenevo a puntualizzarla...
"Luca.Lussardi":
Sì, se hai una base numerabile lo sviluppo in serie di Fourier astratta lo hai ancora ovviamente. Per quanto riguarda i polinomi trigonometrici non credo che essi formino ancora un denso in $L^2(\RR)$, ma devo controllare.
Perfetto, quindi ad esempio utilizzando i polinomi di Hermite $H_n(x)$ posso scrivere esplicitamente $u(x)=\sum_(n=0)^(\infty)(\int_(-\infty)^(+\infty)u(t)H_n(t)dt)H_n(x)$.
Il dubbio viene dal fatto che nell'integrale di Fourier si ha $u(x)=1/(2\pi)\int_(-\infty)^(+\infty)(\int_(-\infty)^(+\infty)u(t)e^(-i\lambdat)dt)e^(i\lambdax)d\lambda$, il che sembra suggerire che i vettori $e^(i\lambdax)$ con indice continuo $\lambda$ formino una base di $L^2(\RR)$ (con qualche troncamento, come diceva Thomas). Infatti nel caso $L^2[-L,L]$ una base è data dai vettori $e^(i(n\pix)/L)$ e quindi intuitivamente per $L->\infty$ questi vettori diventano un insieme "continuo". C'è qualcosa di corretto in questa interpretazione intuitiva?
Sì, è un po' il fondamento del legame che c'è tra serie di Fourier e trasformata di Fourier.
"Luca.Lussardi":
Sì, è un po' il fondamento del legame che c'è tra serie di Fourier e trasformata di Fourier.
Quindi questo vuol dire che per $L^2(\RR)$ posso scegliere di utilizzare una base numerabile oppure una non numerabile?
Bisogna poi vedere che ci fai con una non numerabile, è vero ciò che osservavi per analogia con la trasformata di Fourier, ma poi altri risultati interssanti sul non numerabile non ne conosco, se tutto si riduce alla classica trasformata di Fourier tanto vale non tirare in ballo gli spazi di Hilbert...
"Luca.Lussardi":
Bisogna poi vedere che ci fai con una non numerabile, è vero ciò che osservavi per analogia con la trasformata di Fourier, ma poi altri risultati interssanti sul non numerabile non ne conosco, se tutto si riduce alla classica trasformata di Fourier tanto vale non tirare in ballo gli spazi di Hilbert...
Capisco, grazie per le utili informazioni.
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