Funzionale positivo
Una funzione lineare $T : C ([a, b]) -> RR$ è un funzionale positivo su $C ([a, b])$ se $T f >= 0$ è verificato per ogni $f ∈ C ([a, b])$ con $f >= 0$.
(i) Mostrare che ogni funzionale posivo $T$ su $C ([a, b])$ è continuo e calcolare la norma di $T$
(ii) Sia $S : L^oo([a, b])->RR$ un'estensione di $T$ con $||S||= ||T||$, si mostri che $S$ è un funzionale positivo su $L^oo([a,b])$.
(i) Mostrare che ogni funzionale posivo $T$ su $C ([a, b])$ è continuo e calcolare la norma di $T$
(ii) Sia $S : L^oo([a, b])->RR$ un'estensione di $T$ con $||S||= ||T||$, si mostri che $S$ è un funzionale positivo su $L^oo([a,b])$.
Risposte
Il primo punto si dimostra facilmente prendendo
$M:=|T(1)|$ (dove $1$ è la funzione costantemente eguale a uno).
Allora per ogni $f$ si ha $-||f||\leq f \leq ||f||$ ($||\cdot||$ è la norma uniforme), da cui, per la positività di $T$,
$-||f|| T(1)\leq T(f) \leq ||f|| T(1)$ e passando ai moduli
$|T(f)|\leq M||f||$
ergo $T$ è continua
$M:=|T(1)|$ (dove $1$ è la funzione costantemente eguale a uno).
Allora per ogni $f$ si ha $-||f||\leq f \leq ||f||$ ($||\cdot||$ è la norma uniforme), da cui, per la positività di $T$,
$-||f|| T(1)\leq T(f) \leq ||f|| T(1)$ e passando ai moduli
$|T(f)|\leq M||f||$
ergo $T$ è continua
"ViciousGoblinEnters":
Allora per ogni $f$ si ha $-||f||\leq f \leq ||f||$ ($||\cdot||$ è la norma uniforme), da cui, per la positività di $T$,
$-||f|| T(1)\leq T(f) \leq ||f|| T(1)$
Come fai a dire che grazie alla positività puoi fare questo passaggio? Scusa se magari la domanda ti pare banale, ma credo di aver bisogno di un caffè!
$f\leq ||f|| \Leftrightarrow f-||f||\leq 0\Rightarrow T(f-||f||)\leq0 \Leftrightarrow T(f)-T(||f||)\leq0 \Leftrightarrow T(f)\leq T(||f||) \Leftrightarrow T(f)\leq ||f|| T(1)$
L'altra disuguaglianza la fai tu, vero ? (dopo il caffè
)
L'altra disuguaglianza la fai tu, vero ? (dopo il caffè
)
Eheh... caffè preso, mi sa che ce n'era bisogno! Ora ragiono sulla seconda richiesta, se riesco dopo metto la mia soluzione! Grazie
"ViciousGoblinEnters":
$f\leq ||f|| \Leftrightarrow f-||f||\leq 0\Rightarrow T(f-||f||)\leq0 \Leftrightarrow T(f)-T(||f||)\leq0 \Leftrightarrow T(f)\leq T(||f||) \Leftrightarrow T(f)\leq ||f|| T(1)$
L'altra disuguaglianza la fai tu, vero ? (dopo il caffè
A voler essere pignoli nello sfruttare la definizione di funzionale positivo, avresti dovuto calcolare $T$ su $||f||_oo-fge 0$.
Allora questa $S$ esiste sempre per il teorema di Hahn-Banach e fin qui ci siamo. La norma di $T$ è $||T||=|T(1)|=M$ (riprendendo la definizione di Vicious). Quindi $||S||=||T||=|T(1)|=|S(1)|$. Vogliamo mostrare che $AA f \in L^oo([a,b])-C([a,b])$ con $f>=0$ valga: $Sf>=0$ (ovviamente se $f\inC([a,b])$ ciò è garantito in quanto estensione).
Supponiamo $EE g\in L^oo([a,b])-C([a,b])$ tale che $g>=0$, ma $Sg<0$.
Poiché $g\in L^oo([a,b])$ allora $g$ è misurabile e limitata quasi ovunque. Ho quindi pensato di "spezzare" questa funzione nelle sue componenti continue: $g=h_1+h_2$ con $h_1\in C(I_1), h_2\in C(I_2)$, (non so se qui dovrei essere più precisa o sto prendendo un abbaglio... è che fondamentalmente mi immagino una funzione in $L^oo$ come una funzione con punti di discontinuità eliminabile... correggetemi se sbaglio).
Ovviamente $h_1, h_2 >=0$ e $0>Sg=S(h_1+h_2)=Sh_1+Sh_2=Th_1+Th_2>=0$ che è assurdo.
Me lo sento che sto dicendo una fesseria (anche perché non uso affatto la norma di $S$)... ma vi prego aiutatemi a capire e entrare meglio in queste logiche di analisi funzionale...
Grazie
Supponiamo $EE g\in L^oo([a,b])-C([a,b])$ tale che $g>=0$, ma $Sg<0$.
Poiché $g\in L^oo([a,b])$ allora $g$ è misurabile e limitata quasi ovunque. Ho quindi pensato di "spezzare" questa funzione nelle sue componenti continue: $g=h_1+h_2$ con $h_1\in C(I_1), h_2\in C(I_2)$, (non so se qui dovrei essere più precisa o sto prendendo un abbaglio... è che fondamentalmente mi immagino una funzione in $L^oo$ come una funzione con punti di discontinuità eliminabile... correggetemi se sbaglio).
Ovviamente $h_1, h_2 >=0$ e $0>Sg=S(h_1+h_2)=Sh_1+Sh_2=Th_1+Th_2>=0$ che è assurdo.
Me lo sento che sto dicendo una fesseria (anche perché non uso affatto la norma di $S$)... ma vi prego aiutatemi a capire e entrare meglio in queste logiche di analisi funzionale...
Grazie
La tua idea di $L^infty$ mi pare sbagliata - una funzione di $L^\infty$ puo' essere discontinua in ogni punto.
Per la verità ora come ora mi pare anche che la seconda affermazione sia falsa (se ho capito ciò che bisogna dimostrare).
Cosa impedisce di prendere una funzione $f_0\geq 0$ in $L^\infty([a,b])$ che non sia continua e con $||f_0||_{\infty}=1$ e di definire
$S(f_0)=-1$,estendendo per linearità a tutto $L^\infty$ ? Ciò mi sembra possibile dato che $C([a,b])$ è un sottospazio chiuso di
$L^\infty([a,b])$.
Non capisco - forse il senso vero della domanda era di dimostrare che esiste un' estesione positiva a $L^\infty$ (che non mi pare banale comunque).
Ma forse sbaglio qualcosa.
Per la verità ora come ora mi pare anche che la seconda affermazione sia falsa (se ho capito ciò che bisogna dimostrare).
Cosa impedisce di prendere una funzione $f_0\geq 0$ in $L^\infty([a,b])$ che non sia continua e con $||f_0||_{\infty}=1$ e di definire
$S(f_0)=-1$,estendendo per linearità a tutto $L^\infty$ ? Ciò mi sembra possibile dato che $C([a,b])$ è un sottospazio chiuso di
$L^\infty([a,b])$.
Non capisco - forse il senso vero della domanda era di dimostrare che esiste un' estesione positiva a $L^\infty$ (che non mi pare banale comunque).
Ma forse sbaglio qualcosa.
"ViciousGoblinEnters":
La tua idea di $L^infty$ mi pare sbagliata - una funzione di $L^\infty$ puo' essere discontinua in ogni punto.
Hai ragione, semplificavo troppo i miei ragionamenti..
"ViciousGoblinEnters":
Per la verità ora come ora mi pare anche che la seconda affermazione sia falsa (se ho capito ciò che bisogna dimostrare).
Cosa impedisce di prendere una funzione $f_0\geq 0$ in $L^\infty([a,b])$ che non sia continua e con $||f_0||_{\infty}=1$ e di definire
$S(f_0)=-1$,estendendo per linearità a tutto $L^\infty$ ? Ciò mi sembra possibile dato che $C([a,b])$ è un sottospazio chiuso di
$L^\infty([a,b])$.
Non capisco - forse il senso vero della domanda era di dimostrare che esiste un' estesione positiva a $L^\infty$ (che non mi pare banale comunque).
Ma forse sbaglio qualcosa.
Il testo è esattamente quello che ho trascritto, quindi non dobbiamo occuparci dell'esistenza, ma dimostrare che è positiva.
Ciò che dovrebbe impedire ad una funzione $f_0$, con le proprietà che hai elencato, di esistere, dovrebbe essere proprio che $||S||=||T||$... ma non so come...
Il testo è esattamente quello che ho trascritto, quindi non dobbiamo occuparci dell'esistenza, ma dimostrare che è positiva.
Ciò che dovrebbe impedire ad una funzione f0, con le proprietà che hai elencato, di esistere, dovrebbe essere proprio che ||S||=||T||... ma non so come...
Hai ragione, cercando di costruire un'estensione come dicevo si vede che non è possibile. Alla fine il metodo è semplice (una volta trovato ...)
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