Funzionale lineare ma discontinuo

[Silente]

Sto leggendo Gianni Gilardi, Analisi 3, il quale a pagina 16 propone un esempio di funzionale lineare ma discontinuo.
Considera lo spazio vettoriale delle funzioni continue in [0,1], [tex]V=C^0[0,1][/tex], con la norma:

[tex]\left \| f \right \|_1:=\int_{0}^{1}|f(x)|\mathrm{d}x[/tex]

In tale spazio definisce il funzionale lineare [tex]L[/tex] che mappa [tex]f[/tex] in [tex]f(1)[/tex], e considera come controesempio la successione [tex]f_n(x)=x^n[/tex], dicendo che la non continuità di [tex]L[/tex] è conseguenza del fatto che [tex]\left \| f_n \right \|_1\to 0[/tex] mentre [tex]L(f_n)=1[/tex] per ogni [tex]n[/tex].

Il mio dubbio è il seguente: in [tex]V[/tex] il limite [tex]\lim_{n\to\infty}f_n[/tex] non esiste, per cui l'intero controesempio perde di senso. Sto prendendo una svista io?

Grazie in anticipo.

[otta96]

Se la norma tende a $0$, il limite esiste ed è $0$.

[Silente]

Giusto, ho capito.
Grazie mille.

[dissonance]

"Silent":Sto leggendo Gianni Gilardi, Analisi 3

Mi fa molto piacere! Spero ti piaccia e ti sia utile. Per me lo è stato. È un bene che lo abbiano ristampato, io lo cercavo una decina di anni fa, arrivai persino a scrivere all'autore se per caso ne aveva una copia! Mi rispose gentilmente che no, non ce l'aveva.

https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 80#p489380

[Silente]

Grazie per avermelo consigliato.
Sembra che sia un concentrato di quello che mi serviva