Funzionale di Minkowski di un convesso assorbente
Salve a tutti.
Ho un problema nella dimostrazione delle proprietà del funzionale di Minkowski di un sottoinsieme convesso assorbente $C$ di uno spazio vettoriale topologico $X$. La dimostrazione è a pag. 50 di queste dispense: http://www.math.unipd.it/~gdemarco/AnalisiFunzionale1/AnFun2012.pdf . Il mio problema sta nel fatto che la dimostrazione è incompleta, perché non viene dimostrata l'inclusione $\text{cl } C \subseteq \{x \in X: p(x)\leq 1\} $. Usando il risultato di continuità che viene riportato nell'esercizio sotto sono riuscito a dedurla (infatti l'insieme a destra è l'antimmagine del chiuso di $\mathbb{R} (-\infty, 1 ]$ tramite il funzionale di Minkowski, che è continuo per l'esercizio in quanto $0\in \text{int } C=\{x \in X: p(x)< 1\}\subseteq \{x \in X: p(x)\leq 1\}$), ma direttamente come si può provare l'inclusione?
Grazie in anticipo, ciao!
P.S: Perché mi segna in rosso le quadre dell'intervallo?
Ho un problema nella dimostrazione delle proprietà del funzionale di Minkowski di un sottoinsieme convesso assorbente $C$ di uno spazio vettoriale topologico $X$. La dimostrazione è a pag. 50 di queste dispense: http://www.math.unipd.it/~gdemarco/AnalisiFunzionale1/AnFun2012.pdf . Il mio problema sta nel fatto che la dimostrazione è incompleta, perché non viene dimostrata l'inclusione $\text{cl } C \subseteq \{x \in X: p(x)\leq 1\} $. Usando il risultato di continuità che viene riportato nell'esercizio sotto sono riuscito a dedurla (infatti l'insieme a destra è l'antimmagine del chiuso di $\mathbb{R} (-\infty, 1 ]$ tramite il funzionale di Minkowski, che è continuo per l'esercizio in quanto $0\in \text{int } C=\{x \in X: p(x)< 1\}\subseteq \{x \in X: p(x)\leq 1\}$), ma direttamente come si può provare l'inclusione?
Grazie in anticipo, ciao!
P.S: Perché mi segna in rosso le quadre dell'intervallo?
Risposte
A parte che il funzione di Mikowki per un insieme convesso in uno spazio normato è un funzionale sub-additivo positivo, non ho gli appunti sotto mano; come riferimento bibliografico alternativo posso suggerirti Kolmogorov-Fomin "Elementi di analisi funzionale"!
Se fai vedere che $C$ è contenuto in $\{x : p(x)\le 1\}$ hai finito, siccome a destra hai un chiuso e la chiusura di $C$ è il più piccolo chiuso che contiene $C$. E' ovvio che sapere che $p$ è continuo è necessario, altrimenti potrebbe non essere vera l'inclusione se $\{x : p(x)\le 1\}$ non fosse chiuso.
Ok Luca, con la continuità di $p$ viene, ma la domanda è: c'è un modo di dimostrare direttamente l'inclusione usando solo la definizione del funzionale, senza sapere che è continuo, in maniera simile a come è stato svolto il resto della dimostrazione nella dispensa?
@ j18eos: ho provato a controllare ma nel kolmogorov fomin non mi pare si faccia menzione degli spazi vettoriali topologici, né del funzionale di Minkowski.
@ j18eos: ho provato a controllare ma nel kolmogorov fomin non mi pare si faccia menzione degli spazi vettoriali topologici, né del funzionale di Minkowski.
Mi pare di ricordare che l'inclusione $C\subseteq \{x : p(x)\le 1\}$ sia praticamente solo la definizione di $p$. Quando passi alle chiusure non hai speranza: devi sapere che $\{x : p(x)\le 1\}$ è chiuso se vuoi concludere, altrimenti se non fosse chiuso non sarebbe vero in generale ciò che vuoi.
Ok! Ma mi chiedo: c'è un modo per dimostrare nello stesso stile "elementare" della dimostrazione delle dispense il fatto che tale insieme è chiuso, o bisogna per forza dimostrare prima che $p$ è continuo?
Dire che quell'insieme è chiuso equivale, sostanzialmente, a dire che $p$ è continua.
Ok, ho capito, non c'è speranza: devo per forza passare per la continuità di $p$, uff... 
Grazie, ciao.
Grazie, ciao.
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