Funzionale continuo

[Sk_Anonymous]

ciao

chi inizia per la prima volta lo studio dell'analisi funzionale si imbatte nella def. di funzionale continuo..


concettualmente, non riesco a immaginare cosa voglia dire... forse perchè mi baso sulla def., data all'inizio della def. di spazio metrico, in cui si definisce un funzionale una distanza...

un grazie a chi mi darà qualche spunto

[DavideGenova1]

Un funzionale non è in generale una distanza, che però può essere considerata un tipo di funzionale \(d:X^2\to \mathbb{R}\) dove $X$ è lo spazio che la distanza rende metrico. La definizione più ampia possibile di funzionale direi che richieda fondamentalmente solo che il codominio sia un campo, tipicamente $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. In particolare direi che il termine sia molto usato per funzionali lineari.
Se il funzionale $f:X\to\mathbb{K}$ è definito su uno spazio metrico \((X,d)\), allora la distanza entra nella definizione di funzionale continuo nel senso che esso è continuo in $x_0\in X$ se\[\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0:(d(x,x_0)<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon) \]cioè se, "avvicinandoti" con $x$ sufficientemente a $x_0$, \(f(x)\) si avvicina arbitrariamente a \(f(x_0)\).
In analisi funzionale direi che gli spazi in cui si definiscono oggetti chiamati funzionali che trovi più comunemente siano spazi topologici lineari in generale, dove la continuità è definita però a prescindere dalla distanza, e spazi normati in particolare, che sono spazi vettoriali con una metrica indotta dalla norma, metrica la cui distanza può essere usata per definire la continuità di un'applicazione in generale.

[Sk_Anonymous]

grazie Davide

[DavideGenova1]

Prego! Ho modificato il post precedente perché mi era scappato un metrici (perché scrivendo la "bella copia" del post non l'avevo cancellato dove non serviva più) dopo In analisi funzionale direi che gli spazi.... Uno spazio topologico lineare non è necessariamente uno spazio metrico, ovviamente.