Funziona convessa
Data una funzione regolare convessa $f:RR->RR$. La funzione $|f(x)|^2$ è ancora convessa?
In caso di risposta (motivata) negativa, dare delle condizioni sufficienti affinché anche $|f(x)|^2$ sia convessa.
Non so da dove iniziare.
In caso di risposta (motivata) negativa, dare delle condizioni sufficienti affinché anche $|f(x)|^2$ sia convessa.
Non so da dove iniziare.
Risposte
Prova a pensare se è vero quando un pezzo della funzione è negativa.
è come se la funzione venisse "quasi ribaltata sull'asse delle x" quindi direi che è concava la parte negativa, corretto?
Ma questo l'ho dedotto solo facendo dei calcoli ad esempio studiando la parola $x^2-2$ ma ci sono altri ragionamenti da fare?
Ma questo l'ho dedotto solo facendo dei calcoli ad esempio studiando la parola $x^2-2$ ma ci sono altri ragionamenti da fare?
Alla domanda iniziale hai risposto perché hai trovato un controesempio, non c'è bisogno di fare chissà quali altri ragionamenti.
Ora rimane la seconda parte cioè la condizione sufficiente, che a questo punto dovrebbe essercene una abbastanza evidente...
Ora rimane la seconda parte cioè la condizione sufficiente, che a questo punto dovrebbe essercene una abbastanza evidente...
dovrei verificare che la derivata seconda di $(f(x))^2$ fosse $>=0$ ?
Si, comunque cosa intendi con regolare? E poi un'altra cosa, perché non lo togli quel valore assoluto che tanto c'è alla seconda?
non saprei ... c'era già scritto nell'esercizio.
"otta96":
Alla domanda iniziale hai risposto perché hai trovato un controesempio, non c'è bisogno di fare chissà quali altri ragionamenti.
Quindi è sufficiente che trovi un esempio che evidenzi che non è vera l'affermazione? Giusto?
"otta96":
Si, comunque cosa intendi con regolare? E poi un'altra cosa, perché non lo togli quel valore assoluto che tanto c'è alla seconda?
se calcolo la derivata seconda di $(f(x))^2$ ottengo:
$f'(x)=2f(x)f'(x)$
$f''(x)=2(f'(x))^2+2f(x)f''(x)$
da cui
$f''(x)=(2(f'(x))^2)/(1-2(f(x))$ $->$ $1-2f(x)>=0$ $->$ $f(x)<=1/2$
Corretto?
Scusate però l'ipotesi di derivabilità della funzione non mi sembra ci sia.
A meno che non stiate cercando condizioni sufficienti che includano la derivabilita(due volte)
A meno che non stiate cercando condizioni sufficienti che includano la derivabilita(due volte)
"anto_zoolander":
Scusate però l'ipotesi di derivabilità della funzione non mi sembra ci sia.
A meno che non stiate cercando condizioni sufficienti che includano la derivabilita(due volte)
Ho chiesto cosa intendesse con regolare per questo.
Di solito con il termine funzione regolare si intende una funzione $C^1$ quasi ovunque, quindi troppo poco per quello che ci serve.
Ieri avevo preparato una bellissima risposta, ma il sito era andato in tilt e non sono riuscita ad inviarla. Cerco di ricordare e riscrivere.
Nel post di zio_mangrovia ci sono 2 errori, anche se correggendo il primo, scompare il secondo che però voglio sottolineare perché non lo ripeta in altri casi.
NON sta calcolando la derivata seconda di $f(x)$, ma quella di $[f(x)]^2$, quindi
$([f(x)]^2)'=2f(x)f'(x)$
$([f(x)]^2)''=2(f'(x))^2+2f(x)f''(x) $
A questo punto è chiaro che non è possibile sommare $([f(x)]^2)'' $ con $f''(x) $, tuttavia se i calcoli fossero stati corretti, qui
C'è un errore molto grave: hai applicato le proprietà delle equazioni alle disequazioni, dividendo per un fattore di cui non conosci il segno.
Tornando al problema.
Se $f(x)$ è derivabile due volte, allora essere convessi equivale a $f''(x)>=0$, sappiamo inotre, dal controesempio, che $f(x)>=0$, quindi anche $([f(x)]^2)''>=0 $ perché somma di quantità non negative.
Se f(x) è solo $C^1$ non so da dove iniziare.
Ieri avevo preparato una bellissima risposta, ma il sito era andato in tilt e non sono riuscita ad inviarla. Cerco di ricordare e riscrivere.
Nel post di zio_mangrovia ci sono 2 errori, anche se correggendo il primo, scompare il secondo che però voglio sottolineare perché non lo ripeta in altri casi.
"zio_mangrovia":
se calcolo la derivata seconda di $ (f(x))^2 $ ottengo:
$ f'(x)=2f(x)f'(x) $
$ f''(x)=2(f'(x))^2+2f(x)f''(x) $
NON sta calcolando la derivata seconda di $f(x)$, ma quella di $[f(x)]^2$, quindi
$([f(x)]^2)'=2f(x)f'(x)$
$([f(x)]^2)''=2(f'(x))^2+2f(x)f''(x) $
A questo punto è chiaro che non è possibile sommare $([f(x)]^2)'' $ con $f''(x) $, tuttavia se i calcoli fossero stati corretti, qui
"zio_mangrovia":
$ f''(x)=(2(f'(x))^2)/(1-2(f(x)) $ $ -> $ $ 1-2f(x)>=0 $ $ -> $ $ f(x)<=1/2 $
C'è un errore molto grave: hai applicato le proprietà delle equazioni alle disequazioni, dividendo per un fattore di cui non conosci il segno.
Tornando al problema.
Se $f(x)$ è derivabile due volte, allora essere convessi equivale a $f''(x)>=0$, sappiamo inotre, dal controesempio, che $f(x)>=0$, quindi anche $([f(x)]^2)''>=0 $ perché somma di quantità non negative.
Se f(x) è solo $C^1$ non so da dove iniziare.
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