Funz. integrale, integranda strana...

[nato_pigro1]

Sia $g: (0,1] -> RR$ la funzione definita da

$g(t)={(e^t/sqrt(t) if t in (1/(2k+2),1/(2k+1)]),(-e^t/sqrt(t) if t in (1/(2k+3),1/(2k+2)]):} AAk in NN$

e sia $f$ la funzione di una variabile reale definita da

$f(x)=\int_{1}^{x} g(t) dt$

Per trovare il dominio di $f$? i punti incriminati sono chiaramente $1/(2k+2)$ e $0$ però non riesco a dire che l'integrale indefinito converga in quei punti.

Non saprei proprio da dove iniziare, tra l'altro non riesco neanche a dire che $g$ è riemann integrabile...

[gugo82]

C'è qualcosa che non va nell'assegnazione... Non è che c'è un $4k$ al posto di $2k$?

Ad ogni modo, negli estremi dei sottointervallini non ci sono problemi: infatti la funzione è integrabile in ogni intervallo del tipo $[x,1]$ con $0
L'unico problema si presenta in $0$, ove però la funzione è sommabile.
Pertanto hai integrabilità in $]0,1]$.

[nato_pigro1]

"Gugo82":C'è qualcosa che non va nell'assegnazione... Non è che c'è un $4k$ al posto di $2k$?

no, ho controllato ed è così: sono intervalli che se uniti danno $(0,1]$

"Gugo82":Ad ogni modo, negli estremi dei sottointervallini non ci sono problemi: infatti la funzione è integrabile in ogni intervallo del tipo $[x,1]$ con $0

non conosco questo teorema, abbiamo fatto l'integrale di riemann.
"q.o." cosa vuol dire?
Io per dire che una funzione è riemann integrabile conoscosolo 4 strade:
_applicare la definizione e vedere se l'integrale inferiore è uguale a quello superiore
_continua=>R-integrabile
_monotona=>R-integrabile
_un criterio: f R-integrabile <=> per ogni $\epsilon$ positivo esiste una partizione di $I$ (l'intervallo in cui è definita $f$) tale che la differenza tra somma superiore e inferiore sia minore di $\epsilon$.

"Gugo82":L'unico problema si presenta in $0$, ove però la funzione è sommabile.
Pertanto hai integrabilità in $]0,1]$.

Anche la "sommabilità" non l'ho mai introdotta (l'ho sentita solo qui in altri topic). Conosco dei criteri di convergenza dell'integrale improprio che studia l'ordine di infinito o infinitesimo e dell'integranda, il criterio di Cauchy e quello del confronto.


Quindi credo di non aver capito niente di quello che hai scritto

[gugo82]

Per quanto riguarda l'assegnazione, scusa ho fatto confusione io prima.

Per quanto riguarda l'integrabilità, i risultati fondamentali riguardo l'integrazione alla Riemann che dovrebbero essere presentati alla fine di un corso di Analisi I sono due: il Criterio d'integrabilità di Riemann ed il Teorema di Vitali-Lebesgue. Entrambi questi teoremi servono a caratterizzare le funzioni limitate integrabili secondo Riemann sui compatti di $RR$: il primo teorema lo fa usando l'oscillazione della funzione (il risultato, grosso modo, è "una funzione è integrabile se si può rendere piccola l'ampiezza dei sottointervalli dove la sua oscillazione è grande"), il secondo invece lo fa stimando la "misura" dell'insieme dei punti di discontinuità.
Capirai che il secondo ci interessa di più nel nostro caso, in quanto abbiamo una funzione $g$ che ha un numero finito di discontinuità (tutte di prima specie) in ogni compatto $[x,1] \subset ]0,1]$.
Il risultato è il seguente:

Sia $f:[a,b]\to RR$ limitata.
La $f$ è integrabile secondo Riemann su $[a,b]$ se e solo se l'insieme dei punti di discontinuità di $f$ è un insieme di misura nulla secondo Lebesgue.

Per inciso, dire che un insieme $A\subseteq RR$ ha misura nulla secondo Lebesgue equivale a dire che:

"per ogni $epsilon >0$ esiste una famiglia al più numerabile d'intervalli $\{ I_n=[a_n,b_n]\}_(n\in NN)$ tali che:

1) $A\subseteq \bigcup_n I_n$ e

2) $\sum_(n=1)^(+oo) m(I_n)=\sum_(n=1)^(+oo) b_n-a_n
Si dimostra che ogni insieme numerabile di punti di $RR$ ha misura nulla secondo Lebesgue (infatti se $A=\{x_n\}_(n\in NN)$, prendendo $I_n=]x_n-epsilon/2^(n+1), x_n+epsilon/2^(n+1)[$ sono soddisfatte le 1)-2) precedenti); pertanto ha misura nulla pure ogni insieme finito di punti.

Applicando il teorema al nostro caso, si vede subito che la funzione è integrabile in ogni compatto $[x,1]$.
Noto che non puoi applicare il teorema in tutto $]0,1]$ perchè $g$ non è limitata intorno a $0$.