Frontiera nulla

[ce88]

Salve, qualcuno potrebbe darmi una definizione di frontiera con misura nulla? Sui miei appunti ho questa:
\(Fr(A)\) ha misura nulla se per ogni \(\epsilon\ > 0\), esiste \( N,K \in\ R | Fr(A) \subseteq U_{n,k\in\ J} I_{n,k} | \sum_{n,k\in\ J} max I_{n,k} < \epsilon\ \), con \(J \subseteq\) \({(n,k)|n=1...N, k=1...K}\) Ma non è che l'abbia capita tanto...
Qualcuno mi aiuta? Grazie

[regim]

Beh esistono ottimi testi di analisi scritti da italiani, ma alcuni sono davvero odiosi, con un abuso del formalismo e senza soluzione di continuita', mi sembra di leggere i papiri egiziani, e' una critica da un non matematico, forse sara' per risparmio di tempo che tra un formulone e l'altro non c'e' nulla. Io conosco questa definizione di insieme di misura nulla che poi equivale a quella di jordan, cioe' negli spazi euclidei, quando esiste una collezione numerabile di rettangoli che contiene l'insieme, e la cui somma dei volumi, intesa come somma di una serie, e' minore di una quantita' arbitraria maggiore di zero $\epsilon>0$.

[gugo82]

@ regim:

"regim":Beh esistono ottimi testi di analisi scritti da italiani, ma alcuni sono davvero odiosi, con un abuso del formalismo e senza soluzione di continuita', mi sembra di leggere i papiri egiziani, e' una critica da un non matematico, forse sara' per risparmio di tempo che tra un formulone e l'altro non c'e' nulla. Io conosco questa definizione di insieme di misura nulla che poi equivale a quella di jordan, cioe' negli spazi euclidei, quando esiste una collezione numerabile di rettangoli che contiene l'insieme, e la cui somma dei volumi, intesa come somma di una serie, e' minore di una quantita' arbitraria maggiore di zero $\epsilon>0$.

Faresti meglio a rileggere qualcuno di quegli "odiosi testi di analisi", giacché la definizioni che citi è quella di Lebesgue, e non di Jordan.

@ ce88:
In generale:

Si dice che un insieme \(X\) ha misura nulla secondo Peano-Jordan se e solo se, per ogni fissato numero \(\varepsilon>0\) esistono un numero finito di intervalli \(I_0,\ldots ,I_N\) tali che:
\[
X\subseteq \bigcup_{n=0}^N I_n\qquad \text{e} \qquad \sum_{n=0}^N \operatorname{mis}(I_n)<\varepsilon\; ;
\]
in altre parole, un insieme \(X\) ha misura nulla se esso può essere racchiuso in un pluriintervallo avente misura totale (di Peano-Jordan) arbitrariamente piccola.

Analogamente:

Si dice che un insieme \(X\) ha misura nulla secondo Lebesgue se e solo se, per ogni fissato numero \(\varepsilon>0\) esiste una successione di intervalli \((J_n)\) tali che:
\[
X\subseteq \bigcup_{n=0}^\infty J_n\qquad \text{e} \qquad \sum_{n=0}^\infty \operatorname{mis}(J_n)<\varepsilon\; ;
\]
in altre parole, un insieme \(X\) ha misura nulla se esso può essere racchiuso nell'unione di un'infinità al più numerabile di intervalli, la cui somma delle misure può esser resa arbitrariamente piccola.

La differenza sostanziale tra le due definizioni è che nella seconda si ammettono anche ricoprimenti infiniti; pertanto la classe degli insiemi con misura nulla secondo Peano-Jordan è contenuta in quella degli insiemi aventi misura nulla secondo Lebesgue.

Ad esempio, un insieme finito \(X:=\{x_1,\ldots ,x_N\}\) ha misura nulla secondo Peano-Jordan e pure secondo Lebesgue: infatti, fissato \(\varepsilon >0\), si può ricoprire \(X\) con la famiglia finita di intervalli:
\[
I_n= ]x_n-\frac{\varepsilon}{2(N+1)},x_n+\frac{\varepsilon}{2(N+1)}[
\]
la quale ha:
\[
\sum_{n=1}^N \operatorname{mis}(I_n) = \sum_{n=1}^N \frac{\varepsilon}{N+1} = \frac{N}{N+1}\ \varepsilon < \varepsilon
\]
perciò la misura di \(X\) secondo Peano-Jordan è nulla; analogamente, si può ricoprire \(X\) con la famiglia di intervalli:
\[
J_n:=\begin{cases} I_n &\text{, se } n=1,\ldots ,N\\
\varnothing &\text{, se } n>N
\end{cases}
\]
la quale soddisfa le proprietà della definizione.

Invece, l'insieme \(\mathbb{Q}^d\) ha misura nulla in \(\mathbb{R}^d\) secondo Lebesgue ma non secondo Peano-Jordan.
Ad esempio, mettiamo \(d=1\) e facciamo vedere che \(\mathbb{Q}\) ha misura di Lebesgue nulla in \(\mathbb{R}\). Come noto, l'insieme \(\mathbb{Q}\) è numerabile, dunque esso può essere ordinato in una successione \((x_n)\); fissato \(\varepsilon >0\) e minore di \(1/2\), consideriamo la successione di intervalli \((J_n)\) definiti ponendo:
\[
J_n:= ]x_n-\varepsilon^{n+2}/2 ,x_n + \varepsilon^{n+2}/2[\; ;
\]
evidentemente \(\mathbb{Q}\subseteq \bigcup_{n=0}^\infty J_n\) e però si ha:
\[
\sum_{n=0}^\infty \operatorname{mis}(J_n) = \sum_{n=0}^\infty \varepsilon^{n+2} = \varepsilon^2\ \sum_{n=0}^\infty \varepsilon^n = \frac{\varepsilon^2}{1-\varepsilon} <\varepsilon
\]
cosicché \((J_n)\) soddisfa i requisiti della definizione precedente.

Tuttavia la misura di \(\mathbb{Q}\) non può essere nulla secondo Peano-Jordan: infatti, non appena si cerca di ricoprire \(\mathbb{Q}\) con una famiglia finita di intervalli \(I_0,\ldots ,I_N\) aventi ognuno misura finita, esiste almeno un numero razionale \(x_\nu\) che non è contenuto in \(\bigcup_{n=0}^N I_n\), giacché \(\mathbb{Q}\) non è limitato mentre \(\bigcup_{n=0}^N I_n\) lo è.

Dire che un insieme \(A\) ha frontiera di misura nulla (secondo Peano-Jordan o secondo Lebesgue) significa, semplicemente, dire che l'insieme \(X=\partial A\) (o \(\operatorname{Fr} A\), che notar lo si voglia) è un insieme di misura nulla (secondo Peano-Jordan o secondo Lebesgue).

[ce88]

Grazie a entrambi, ora direi che mi è un po più chiara...

[regim]

"ce88":Grazie a entrambi, ora direi che mi è un po più chiara...

quod erat demonstrandum.